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Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Considere m e n inteiros positivos, com m > n. Sejam \mathbf{A} = [a_{ij}]_{3\times(n+2)} e \mathbf{B} = [b_{ij}]_{(n+2)\times3} matrizes cujas entradas são dadas, respectivamente, pelas combinações

a_{1j} = \binom{m}{j - 3}, \quad a_{2j} = \binom{m}{j - 2}, \quad a_{3j} = \binom{m}{j - 1}

com 1 \le j \le n + 2 e

b_{i1} = b_{i2} = \binom{n}{n + 2 - i}, \quad b_{i3} = \binom{n + 1}{n + 2 - i},

para 1 \le i \le n + 2. Em que,

\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a - b)!}

para a e b inteiros não-negativos, com b \le a e

\binom{a}{c} = 0

para c < 0 ou c > a

Usando as propriedades relacionadas a combinações, mostre que, para m = 2^{10} e n = 10^3, o traço de \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} é divisível por 1013.

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Resolução comentada

a) O traço de \mathbf{A}\mathbf{B} é \sum_{i=1}^{3}(\mathbf{AB})_{ii}, com (\mathbf{AB})_{ii}=\sum_{j=1}^{n+2}a_{ij}b_{ji}. Calculo cada termo com a identidade de Vandermonde, \sum_k\binom{p}{k}\binom{q}{r-k}=\binom{p+q}{r}, lembrando que as combinações com índice fora de [0,\text{topo}] valem zero.

  1. (\mathbf{AB})_{11}=\sum_j\binom{m}{j-3}\binom{n}{n+2-j}. Com k=j-3, os índices somam k+(n-1-k)=n-1. Os valores k=-2,-1 dão zero e k=0,\dots,n-1 estão todos no intervalo de j. Logo (\mathbf{AB})_{11}=\binom{m+n}{n-1}.
  2. (\mathbf{AB})_{22}=\sum_j\binom{m}{j-2}\binom{n}{n+2-j}. Com k=j-2, temos \binom{m}{k}\binom{n}{n-k} para k=0,\dots,n, e o termo k=-1 é zero. Logo (\mathbf{AB})_{22}=\binom{m+n}{n}.
  3. (\mathbf{AB})_{33}=\sum_j\binom{m}{j-1}\binom{n+1}{n+2-j}. Com k=j-1, temos \binom{m}{k}\binom{n+1}{n+1-k} para k=0,\dots,n+1. Logo (\mathbf{AB})_{33}=\binom{m+n+1}{n+1}.

Somando e usando duas vezes a relação de Stifel, \binom{a}{b}+\binom{a}{b+1}=\binom{a+1}{b+1}:

\operatorname{tr}(\mathbf{AB})=\binom{m+n}{n-1}+\binom{m+n}{n}+\binom{m+n+1}{n+1}=\binom{m+n+1}{n}+\binom{m+n+1}{n+1}=\binom{m+n+2}{n+1}.

Com m=2^{10}=1024 e n=1000 (e m>n), o traço é

\operatorname{tr}(\mathbf{AB})=\binom{2026}{1001}=\frac{2026!}{1001!\,1025!}.

O número 1013 é primo, pois não é divisível por nenhum primo até 31 (\sqrt{1013}<32). Além disso, 2026=2\cdot1013.

Expoente de 1013 em cada fatorial:

  • Em 2026!: \lfloor 2026/1013\rfloor=2.
  • Em 1001!: 0, pois 1001<1013.
  • Em 1025!: \lfloor 1025/1013\rfloor=1.

O expoente de 1013 no traço é 2-0-1=1\ge1. Portanto 1013 divide \binom{2026}{1001}, isto é, divide o traço de \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}.

O traço vale \binom{2026}{1001}, que contém o fator primo 1013 (expoente 1), logo é divisível por 1013.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Divisibilidade, MMC e MDC, Combinações e binômio de Newton.

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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗