PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027
Sejam n \text{ }\in\mathbb{N} e \alpha \in \mathbb{R} tais que
\sen \alpha \neq 0 \qquad \text{e} \qquad \cos(j\alpha) \neq 0, \quad j = 1, 2, \ldots, n + 1
Mostre a identidade
S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\cos \alpha + \cos(2k + 1)\alpha} = \frac{\sen(n\alpha)}{\sen(2\alpha) \cos((n + 1)\alpha)}
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Resolução comentada
Vamos transformar cada termo da soma numa diferença de tangentes, de modo que a soma telescopa.
- Soma em produto. Usando \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{B-A}{2} com A=\alpha e B=(2k+1)\alpha:
\cos\alpha+\cos(2k+1)\alpha=2\cos((k+1)\alpha)\cos(k\alpha)
Pela hipótese, \cos(j\alpha)\neq0 para j=1,\dots,n+1. Logo os termos estão bem definidos, e
\frac{1}{\cos\alpha+\cos(2k+1)\alpha}=\frac{1}{2\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha)}
- Diferença de tangentes. Como \alpha=(k+1)\alpha-k\alpha,
\tg((k+1)\alpha)-\tg(k\alpha)=\frac{\sen((k+1)\alpha-k\alpha)}{\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha)}=\frac{\sen\alpha}{\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha)}
Como \sen\alpha\neq0, podemos escrever
\frac{1}{2\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha)}=\frac{\tg((k+1)\alpha)-\tg(k\alpha)}{2\sen\alpha}
- Soma telescópica.
S_n=\frac{1}{2\sen\alpha}\sum_{k=1}^n\left[\tg((k+1)\alpha)-\tg(k\alpha)\right]=\frac{\tg((n+1)\alpha)-\tg\alpha}{2\sen\alpha}
- Simplificação. Usando de novo a fórmula da diferença de tangentes:
\tg((n+1)\alpha)-\tg\alpha=\frac{\sen(n\alpha)}{\cos((n+1)\alpha)\cos\alpha}
Portanto
S_n=\frac{\sen(n\alpha)}{2\sen\alpha\cos\alpha\cos((n+1)\alpha)}=\frac{\sen(n\alpha)}{\sen(2\alpha)\cos((n+1)\alpha)}
O denominador não se anula: \sen2\alpha=2\sen\alpha\cos\alpha\neq0, pois \sen\alpha\neq0 e \cos\alpha\neq0 (caso j=1). Também \cos((n+1)\alpha)\neq0 (caso j=n+1).
Identidade demonstrada.
Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.
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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗