PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2027
Seja \mathcal{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}. Escolhe-se ao acaso uma função bijetora f : \mathcal{S} \to \mathcal{S}. Sabendo-se que f^{(9)} = \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{9\text{ vezes}}, qual a probabilidade de que f^{(9)}(1) = 1?
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Resolução comentada
a) Como f é uma permutação de \mathcal{S}, o elemento 1 pertence a um ciclo de comprimento k, com 1\le k\le 9. Então f^{(n)}(1)=1 se, e somente se, k divide n. Para n=9, é preciso que k divida 9, ou seja, k\in\{1,3,9\}.
O total de bijeções é 9!. Vamos contar quantas têm o ciclo de 1 com cada um desses comprimentos:
- k=1: f(1)=1 e as outras 8 posições são permutadas livremente, o que dá 8!.
- k=3: escolhemos, em ordem, os outros 2 elementos do ciclo, de 8\cdot 7 modos. Os 6 elementos restantes são permutados livremente, de 6! modos. Total: 8\cdot7\cdot6!=8!.
- k=9: o ciclo contém todos os elementos. Ordenamos os outros 8 após o 1, o que dá 8!.
O total de casos favoráveis é 3\cdot 8!. Logo:
(Isso reflete o fato de que o comprimento do ciclo de 1 é uniforme em \{1,\dots,9\}, com probabilidade 1/9 cada.)
Resposta: \dfrac{1}{3}
Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Permutações.
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Fonte: IME 2ª fase 2027 · Matemática. Prova oficial ↗