PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023
Sejam os números complexos z_1, z_2, \thinspace \text{...}\thinspace, z_n tais que suas partes reais e imaginárias formam, respectivamente, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica crescentes de números reais e de mesma razão. Sabe-se que z_1 = 2 + 5i e z_4 = m(i^{4m} + 5i^{4m+1}) onde m \thinspace\text{∈}\thinspace \text{ℤ}_+^* e i^2 = -1.
Considere S_n = \dfrac{1}{5} \sum_{k=1}^{n} z_k e A_n = \dfrac{2}{5} \sum_{k=1}^{n} k.
Calcule o valor de \text{P} = \dfrac{S_n - A_n}{i} + 1 em função de n.
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Resolução comentada
a) Seja r a razão comum. As partes reais formam uma PA com primeiro termo 2, e as partes imaginárias formam uma PG com primeiro termo 5.
Como i^{4m}=1 e i^{4m+1}=i, temos z_4 = m(1+5i) = m + 5m\,i.
- Parte real: 2+3r = m.
- Parte imaginária: 5r^3 = 5m, ou seja, r^3=m.
Igualando, r^3 = 2+3r, isto é, r^3-3r-2=0, que fatora como (r-2)(r+1)^2=0.
As progressões são crescentes. A PG de primeiro termo positivo só cresce com r>1, então r=-1 não serve e r=2. Logo m=8, que é inteiro positivo, como pede o enunciado.
Os termos são:
- Parte real: a_k = 2+2(k-1)=2k.
- Parte imaginária: b_k = 5\cdot 2^{k-1}.
Conferindo: z_4 = 8+40i = 8(1+5i).
Somando:
Portanto
Também
Assim, S_n - A_n = (2^n-1)\,i, e então
P = 2^n
Assuntos: Progressão geométrica, Progressão aritmética, Números complexos.
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Fonte: IME 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗