Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023

Question

As raízes da equação 4x^3 - 40x^2 + 129x - 135 = 0 são os comprimentos dos lados de um triângulo em metros.

Determine a área deste triângulo.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

As raízes da equação 4x^3 - 40x^2 + 129x - 135 = 0 são os comprimentos dos lados de um triângulo em metros.

Determine a área deste triângulo.

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Resolução comentada

a) Primeiro encontramos as raízes. Testando x=\frac{5}{2}:

4\cdot\frac{125}{8}-40\cdot\frac{25}{4}+129\cdot\frac{5}{2}-135=62{,}5-250+322{,}5-135=0.

Logo \frac52 é raiz, e o polinômio fatora como

4x^3-40x^2+129x-135=(2x-5)(2x^2-15x+27).

O segundo fator tem \Delta=225-216=9, então x=\frac{15\pm3}{4}, ou seja, x=\frac{9}{2} ou x=3.

Os lados são \frac52\ \text{m}, 3\ \text{m} e \frac92\ \text{m}. Eles formam um triângulo, pois \frac52+3=\frac{11}{2}>\frac92.

O semiperímetro é p=\frac{2{,}5+3+4{,}5}{2}=5 (também dá para ver pela soma das raízes, \frac{40}{4}=10).

Pela fórmula de Heron:

A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{5\cdot 2{,}5\cdot 2\cdot 0{,}5}=\sqrt{12{,}5}=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5\sqrt2}{2}.

Área =\dfrac{5\sqrt2}{2}\ \text{m}^2\approx 3{,}54\ \text{m}^2

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Fonte: IME 2ª fase 2023 · Matemática. Prova oficial ↗