Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023

a) Comece simplificando as duas equações.

Na primeira, \sqrt{x^2+2x+1}=|x+1|, então

que é um losango de centro (-1,2) e vértices a \tfrac12 do centro, nas direções horizontal e vertical.

Na segunda, passe tudo para o primeiro membro e complete quadrados:

É uma elipse de centro (k,2), com semieixo horizontal 2 e semieixo vertical \tfrac13.

Faça u=x+1, v=y-2 e c=k+1. O losango fica |u|+|v|=\tfrac12, com vértices (\pm\tfrac12,0) e (0,\pm\tfrac12). A elipse fica (u-c)^2+36v^2=4, de centro (c,0).

Quando há um único ponto comum? Como as curvas são fechadas, só há um ponto comum se houver tangência.

• A elipse nunca contém o losango, pois v vai só até \tfrac13<\tfrac12 e o vértice (0,\tfrac12) fica fora.
• O losango nunca contém a elipse, pois a largura 4 da elipse é maior que a largura 1 do losango.
• Tangência a um lado: o ponto de tangência da elipse com a reta de um lado cai fora do segmento, no prolongamento, porque o sinal de v não combina com o lado. Quando cai no segmento, o vértice oposto do losango fica dentro da elipse e o vértice (0,\pm\tfrac12) fica fora, o que gera outras interseções.

Restam as tangências nos vértices horizontais do losango:

1. Elipse à direita: o ponto mais à esquerda dela é (c-2,0). Com c-2=\tfrac12, ou seja c=\tfrac52, a elipse fica em u\ge\tfrac12 e o losango em u\le\tfrac12. Só se tocam em (\tfrac12,0).
2. Elipse à esquerda: por simetria, c+2=-\tfrac12, ou seja c=-\tfrac52, e o único ponto comum é (-\tfrac12,0).

Como k=c-1:

Soma: \tfrac32-\tfrac72=-2.

Soma =-2

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Função modular.

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