PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017
Seja A = \{1,2,3,4\}.
- Quantas funções de A para A têm exatamente 2 elementos em seu conjunto imagem?
- Entre as 256 funções de A para A, sorteiam-se as funções f e g, podendo haver repetição. Qual a probabilidade da função composta f \circ g ser uma função constante?
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Resolução comentada
a)
Primeiro escolhemos quais serão os 2 valores da imagem: \binom{4}{2}=6 maneiras.
Depois contamos as funções de A (4 elementos) no conjunto escolhido \{a,b\} que usam os dois valores, isto é, as sobrejetoras. Cada elemento do domínio tem 2 escolhas, o que dá 2^4=16 funções. Retiramos as 2 constantes (só a ou só b): 16-2=14.
Total: 6\cdot 14=84.
84 funções
b)
O espaço amostral tem 256\cdot256=65536 pares (f,g).
A composta f\circ g é constante quando f assume o mesmo valor em todos os elementos de \text{Im}(g). Se \text{Im}(g) tem k elementos, f fica determinada assim: escolhemos o valor comum (4 maneiras) e os outros 4-k elementos de A ficam livres (4^{4-k}). Logo há 4^{5-k} funções f possíveis.
Agora contamos as funções g por tamanho k da imagem:
- k=1: 4 funções g, com 4^4=256 funções f cada: 1024 pares.
- k=2: 84 funções g (item a), com 4^3=64 funções f cada: 5376 pares.
- k=3: \binom{4}{3}\cdot 36=144 funções g (36 sobrejeções de 4 elementos em 3), com 4^2=16 funções f cada: 2304 pares.
- k=4: 24 funções g, com 4 funções f cada: 96 pares.
Conferência: 4+84+144+24=256.
Pares favoráveis: 1024+5376+2304+96=8800.
P=\dfrac{275}{2048}
Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Combinações e binômio de Newton, Probabilidade: conceitos básicos.
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Fonte: IME 2ª fase 2017 · Matemática. Prova oficial ↗