Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017

Question

Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média geométrica entre as medidas dos segmentos BD e DC, e a medida da mediana AM é a média geométrica entre os lados AB e AC. Os pontos D e M estão sobre o lado BC de medida a. Pede-se determinar os lados AB e AC do triângulo ABC em função de a.

Answer 1

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Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média geométrica entre as medidas dos segmentos BD e DC, e a medida da mediana AM é a média geométrica entre os lados AB e AC. Os pontos D e M estão sobre o lado BC de medida a. Pede-se determinar os lados AB e AC do triângulo ABC em função de a.

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Resolução comentada

a) Sejam AB=c, AC=b e BC=a.

Bissetriz. Pelo teorema da bissetriz interna, \dfrac{BD}{c}=\dfrac{DC}{b}=\dfrac{a}{b+c}. Logo:

BD=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c},\qquad BD\cdot DC=\frac{a^2bc}{(b+c)^2}.

O comprimento da bissetriz interna é dado por AD^2=bc-BD\cdot DC. O enunciado diz que AD^2=BD\cdot DC. Então:

bc=2\,BD\cdot DC=\frac{2a^2bc}{(b+c)^2}\ \Rightarrow\ (b+c)^2=2a^2\ \Rightarrow\ b+c=a\sqrt2.

Mediana. Pelo teorema da mediana, AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}. Como AM^2=bc:

2b^2+2c^2-a^2=4bc\ \Rightarrow\ 2(b+c)^2-4bc-a^2=4bc.

Substituindo (b+c)^2=2a^2:

4a^2-a^2=8bc\ \Rightarrow\ bc=\frac{3a^2}{8}.

Resolvendo. b e c são raízes de t^2-a\sqrt2\,t+\dfrac{3a^2}{8}=0. O discriminante é 2a^2-\dfrac{3a^2}{2}=\dfrac{a^2}{2}. Então:

t=\frac{a\sqrt2\pm \frac{a\sqrt2}{2}}{2}\ \Rightarrow\ t=\frac{3\sqrt2}{4}a\ \text{ ou }\ t=\frac{\sqrt2}{4}a.

Verificação. A soma é \sqrt2\,a>a e a diferença é \dfrac{\sqrt2}{2}a<a, então o triângulo existe. Além disso, AD^2=\dfrac{3}{8}a^2-\dfrac{3}{16}a^2=\dfrac{3a^2}{16}=BD\cdot DC, como pedido.

Os lados são \dfrac{\sqrt2}{4}a e \dfrac{3\sqrt2}{4}a. O problema é simétrico em B e C, então qualquer atribuição serve: por exemplo, AB=\dfrac{\sqrt2}{4}a e AC=\dfrac{3\sqrt2}{4}a, ou o contrário.

\{AB,AC\}=\left\{\dfrac{\sqrt2}{4}a,\ \dfrac{3\sqrt2}{4}a\right\}

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 9 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2017

Fonte: IME 2ª fase 2017 · Matemática. Prova oficial ↗