Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017

Question

Se \frac{\cos x}{\cos y} + \frac{\sen x}{\sen y} = -1, calcule o valor S.

S = \frac{3\cos y + \cos 3y}{\cos x} + \frac{3\sen y - \sen 3y}{\sen x}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Se \frac{\cos x}{\cos y} + \frac{\sen x}{\sen y} = -1, calcule o valor S.

S = \frac{3\cos y + \cos 3y}{\cos x} + \frac{3\sen y - \sen 3y}{\sen x}

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Resolução comentada

a) Primeiro simplifique os numeradores com as fórmulas do arco triplo:

\cos 3y = 4\cos^3 y - 3\cos y e \sen 3y = 3\sen y - 4\sen^3 y.

Assim:

3\cos y + \cos 3y = 4\cos^3 y, \qquad 3\sen y - \sen 3y = 4\sen^3 y.

Então

S = \frac{4\cos^3 y}{\cos x} + \frac{4\sen^3 y}{\sen x}.

Chame a = \frac{\cos x}{\cos y} e b = \frac{\sen x}{\sen y}. O dado é a+b=-1. Além disso, \cos x = a\cos y e \sen x = b\sen y, de modo que

S = 4\left(\frac{\cos^2 y}{a} + \frac{\sen^2 y}{b}\right) = 4\,\frac{b\cos^2 y + a\sen^2 y}{ab}.

Use agora \cos^2 x + \sen^2 x = 1. Com c=\cos^2 y e s=\sen^2 y (então c+s=1), isso dá a^2c + b^2s = 1.

Como (a+b)^2 = 1, temos a^2c + b^2s = a^2 + 2ab + b^2. Passando tudo para um lado:

a^2(c-1) + b^2(s-1) = 2ab \;\Rightarrow\; -a^2 s - b^2 c = 2ab \;\Rightarrow\; a^2 s + b^2 c = -2ab.

Agora calcule (bc + as) multiplicando por -1 = a+b:

-(bc+as) = (a+b)(bc+as) = ab\,c + a^2 s + b^2 c + ab\,s = ab(c+s) + (a^2 s + b^2 c) = ab - 2ab = -ab.

Logo bc + as = ab, e

S = 4\cdot\frac{ab}{ab} = 4.

(Note que ab \neq 0, pois as frações do enunciado estão definidas e \cos x, \sen x aparecem no denominador de S.)

S = 4

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: IME 2ª fase 2017 · Matemática. Prova oficial ↗