DESEMPENHO NESTA PROVA
Grok 4.7
Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | 6(2\sqrt{3}-3) |
### Resolução. As doze raízes da equação \(z^{12}=1\) são os números complexos \(\operatorname{cis}(k\cdot 30^\circ)\), para \(k=0,1,\dots,11\), que se distribuem uniformemente sobre o círculo unitário no plano de Argand-Gauss. O hexágo… |
| 2 (Matemática) | = | 2/5 |
A equação dada é a soma dos termos de uma progressão geométrica: \[ 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 = \frac{z^6 - 1}{z - 1} = 0, \quad z \neq 1. \] Assim, as raízes são as raízes sextas da unidade, exceto \(z = 1\): \[ z_k = e^{2\pi i k/6} … |
| 3 (Matemática) | = | 7 |
### Resolução A função \(g_n\) vale \(1\) precisamente quando \(x > -1/n\) e vale \(0\) caso contrário. Consequentemente, \[ f(y) = \sum (1/3)^n, \] em que a soma percorre apenas os índices \(n\) para os quais \(g_n(y) = 1\). - Se \(y \… |
| 4 (Matemática) | = | 1345 |
### Resolução Sejam \(p(y) = y^3 - 4y - 2\) e \(q(x) = x^2 - 7x - 3\). As raízes de \(p\) são \(y_1, y_2, y_3\) e as de \(q\) são \(x_1, x_2\). O produto pedido é \[ \prod_{i=1}^3 \prod_{j=1}^2 (y_i + x_j) = \prod_{j=1}^2 \Bigl( \prod_{i… |
| 5 (Matemática) | = | 512(u^4-3u^2+1), u=\sqrt[3]{1385/256+\sqrt{51267787/1769472}}+\sqrt[3]{1385/256-\sqrt{51267787/1769472}} |
Os logaritmos \(\log_2 x_1,\dots,\log_2 x_9\) formam uma progressão aritmética de razão \(d>0\). Consequentemente, a sequência \((x_k)\) é uma progressão geométrica de razão \(q=2^d>1\). Os cinco termos \(x_1,x_3,x_5,x_7,x_9\) também for… |
| 6 (Matemática) | = | 1/3 |
### Resolução Seja \(n = |S| = 9\). O conjunto de todas as funções bijetoras \(f: S \to S\) pode ser identificado com o conjunto \(S_9\) de todas as permutações de \(9\) elementos, que possui \(9!\) elementos. Como a escolha é feita ao a… |
| 7 (Matemática) | = | \binom{2026}{1001} (divisível por 1013) |
### Desenvolvimento Seja \(C=AB\), matriz \(3\times 3\). O traço de \(C\) é \[ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{k=1}^{n+2}a_{1k}b_{k1}+\sum_{k=1}^{n+2}a_{2k}b_{k2}+\sum_{k=1}^{n+2}a_{3k}b_{k3}. \] Como \(b_{k1}=b_{k2}=\binom{n}{n+2-k}\) e \(b… |
| 8 (Matemática) | = | identidade demonstrada |
### Resolução Sejam \(n\in\mathbb{N}\) e \(\alpha\in\mathbb{R}\) nas condições do enunciado. Para cada \(k\in\{1,\ldots,n\}\), a identidade de prostaférese fornece \[ \cos\alpha+\cos((2k+1)\alpha)=2\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha), \] dond… |
| 9 (Matemática) | = | (\pm 2\sqrt{3},\pm 1/7) |
### Resolução A elipse dada pode ser reescrita na forma canônica \[ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1. \] Assim, \(a^2=16\), \(b^2=4\) e \[ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}. \] As retas mencionadas no enunciado são, portanto, \(x=\pm 2\… |
| 10 (Matemática) | = | a) 192\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^3; b) altura 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}, base 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\times 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm} |
O volume de um prisma quadrangular reto é o produto da área da base pela altura \(h\). Como o prisma está contido na esfera de raio \(R = 6\), todos os seus vértices estão a distância no máximo \(6\) do centro da esfera. Sejam \(d_1\) e … |