GPT-6.1 Terra

Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.

Questão	Com a maioria	Resposta final	Resposta
1 (Matemática)	✓	12\sqrt3-18.	As doze raízes são os vértices de um dodecágono regular inscrito no círculo unitário. Como cada hexágono é regular, seus vértices são alternados, e um hexágono é obtido do outro por uma rotação de \(30^\circ\). Cada hexágono tem lado \(1…
2 (Matemática)	✓	\dfrac25.	Multiplicando a equação por \(z-1\), obtemos \[ (z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5)=z^6-1=0. \] Como \(z=1\) não é raiz da equação original, suas cinco raízes são \[ z_k=e^{ik\pi/3},\qquad k=1,2,3,4,5. \] Todas elas têm módulo \(1\). Logo, a desi…
3 (Matemática)	✓	7.	Como \(x\neq 0\), consideremos os inteiros negativos e positivos. Se \(x\leq -1\), então \(g_n(x)=0\) para todo \(n\geq 1\). Além disso, \(-1/x>0\), logo \(g_n(-1/x)=1\) para todo \(n\). Assim, \[ f(x)+f\left(-\frac1x\right) =0+\sum_{n=…
4 (Matemática)	✓	1345.	Pelas relações de Girard para \(y^3-4y-2=0\), temos \[ y_1+y_2+y_3=0,\qquad y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=-4,\qquad y_1y_2y_3=2. \] Logo, \[ \prod_{i=1}^{3}(x+y_i)=x^3-4x+2. \] Como \(x_1\) e \(x_2\) são raízes de \(x^2-7x-3=0\), para cada uma de…
5 (Matemática)	=	\boxed{512+5540t-512t^2\approx 11196{,}57}, com t definido acima.	Como os logaritmos formam uma progressão aritmética de razão positiva, os números \(x_i\) formam uma progressão geométrica de razão \(q>1\). Os fatores do produto dado são simétricos em relação a \(x_5\), logo \[ x_1x_3x_5x_7x_9=x_5^5=2^…
6 (Matemática)	✓	\dfrac13.	Uma função bijetora de \(S\) em \(S\) é uma permutação. Seja \(k\) o comprimento do ciclo que contém o elemento \(1\). Para que \(f^{(9)}(1)=1\), é necessário e suficiente que \(k\) divida \(9\). Assim, \(k\in\{1,3,9\}\). Para cada valor…
7 (Matemática)	✓	1013\mid\operatorname{tr}(AB).	Pela definição de produto de matrizes, o traço é \[ \operatorname{tr}(AB)= \sum_{j=1}^{n+2}\left[ \binom m{j-3}\binom n{n+2-j} +\binom m{j-2}\binom n{n+2-j} +\binom m{j-1}\binom{n+1}{n+2-j} \right]. \] Aplicando a identidade de Vandermon…
8 (Matemática)	✓	\displaystyle S_n=\frac{\sen(n\alpha)}{\sen(2\alpha)\cos((n+1)\alpha)}.	Pela fórmula da soma de cossenos, \[ \cos\alpha+\cos((2k+1)\alpha) =2\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha). \] Além disso, \[ \tan((k+1)\alpha)-\tan(k\alpha) =\frac{\sen\alpha}{\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha)}. \] Logo, \[ \frac{1}{\cos\alpha+\co…
9 (Matemática)	✓	\left(\pm2\sqrt3,\;\pm\frac17\right), com os sinais independentes.	Escrevendo a elipse como \[ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1, \] temos \(a=4\), \(b=2\) e, portanto, \[ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt3. \] Seja \(P=(u,v)\). A normal à elipse em \(P\) tem como vetor diretor \((u,4v)\), de modo que se…
10 (Matemática)	✓	a) 192\sqrt3\ \text{cm}^3; b) altura 4\sqrt3\ \text{cm} e base quadrada de lado 4\sqrt3\ \text{cm}.	a) Sejam \(h\) a altura do prisma e \(m\) a distância algébrica, em relação ao centro da esfera, do plano médio entre suas bases. Como o prisma é reto, vértices correspondentes das bases têm a mesma projeção nesse plano. Sua distância…