DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6.1 Sol
Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | 12\sqrt3-18. |
As raízes são \[ z_k=\cos\frac{k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}, \qquad k=0,1,\ldots,11. \] Assim, os hexágonos \(\mathcal P\) e \(\mathcal I\) estão inscritos na circunferência unitária e um é obtido do outro por uma rotação de \(30^\circ\).… |
| 2 (Matemática) | = | \dfrac{2}{5}. |
Como \(z=1\) não é raiz da equação, podemos usar a soma de uma progressão geométrica: \[ 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=\frac{z^6-1}{z-1}=0. \] Portanto, as raízes são as raízes sextas da unidade, exceto \(1\): \[ z_k=\cos\frac{k\pi}{3}+i\sen\frac{k… |
| 3 (Matemática) | = | 7. |
Como \(g_n(t)\) assume apenas os valores \(0\) e \(1\), temos \[ \left(\frac{g_n(t)}{3}\right)^n=\frac{g_n(t)}{3^n}. \] Assim, para \(t\ge 0\), todos os termos têm \(g_n(t)=1\), de modo que \[ f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{3^n}=\frac12. … |
| 4 (Matemática) | = | 1345. |
Seja \[ P=\prod_{i=1}^{3}\prod_{j=1}^{2}(y_i+x_j). \] Pelas relações de Viète para \(y^3-4y-2=0\), \[ y_1+y_2+y_3=0,\qquad y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=-4,\qquad y_1y_2y_3=2. \] Assim, para qualquer \(x\), \[ (x+y_1)(x+y_2)(x+y_3)=x^3-4x+2, \] de… |
| 5 (Matemática) | = | \boxed{512+5540T-512T^2\approx11196{,}4994}, com T definido acima. |
Como os logaritmos de base \(2\) formam uma PA de razão positiva, os números \(x_1,\ldots,x_9\) formam uma PG de razão \(q>1\). Logo, \[ x_k=x_5q^{k-5}. \] Pela condição sobre o produto, \[ x_1x_3x_5x_7x_9=x_5^5=2^{45} \quad\Longrightarro… |
| 6 (Matemática) | = | \dfrac13. |
Uma bijeção \(f:S\to S\) é uma permutação dos \(9\) elementos de \(S\). Assim, há \(9!\) funções possíveis, todas igualmente prováveis. Seja \(k\) o comprimento do ciclo de \(f\) que contém o elemento \(1\). Nesse ciclo, o elemento \(1\)… |
| 7 (Matemática) | = | \displaystyle \operatorname{tr}(AB)=\binom{2026}{1001}\equiv0\pmod{1013}. |
Seja \(C=AB\). Seu traço é \[ \operatorname{tr}(AB)=c_{11}+c_{22}+c_{33}. \] Usaremos a **identidade de Vandermonde**, \[ \sum_k\binom{r}{k}\binom{s}{t-k}=\binom{r+s}{t}, \] considerando nulas as combinações cujos índices inferiores este… |
| 8 (Matemática) | = | \displaystyle S_n=\frac{\sen(n\alpha)}{\sen(2\alpha)\cos((n+1)\alpha)}. |
Pela fórmula da soma de cossenos, \[ \cos\alpha+\cos((2k+1)\alpha) =2\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha). \] Os fatores do segundo membro são não nulos pelas hipóteses, para \(1\le k\le n\). Além disso, \[ \tan((k+1)\alpha)-\tan(k\alpha) =\fra… |
| 9 (Matemática) | = | \left(2\sqrt3,\frac17\right),\ \left(2\sqrt3,-\frac17\right),\ \left(-2\sqrt3,\frac17\right),\ \left(-2\sqrt3,-\frac17\right). |
Escrevendo a equação da elipse na forma reduzida, \[ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1, \] temos \(a=4\), \(b=2\) e, portanto, \[ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt3. \] Seja \(P=(u,v)\), com \(u^2+4v^2=16\). Como o vetor \((u,4v)\) é norm… |
| 10 (Matemática) | = | a) 192\sqrt3\ \text{cm}^3; b) altura 4\sqrt3\ \text{cm} e base quadrada de dimensões 4\sqrt3\ \text{cm}\times4\sqrt3\ \text{cm}. |
Sejam \(ABCD\) e \(A'B'C'D'\) as bases do prisma, \(h\) sua altura e \(d_1=AC\), \(d_2=BD\) as diagonais da base. ### (a) Volume máximo Como o prisma é reto, \[ AC'^2=d_1^2+h^2 \quad\text{e}\quad BD'^2=d_2^2+h^2. \] Os segmentos \(AC'\)… |