DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6 Luna
Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | 12\sqrt3-18. |
As raízes de \(z^{12}=1\) são igualmente espaçadas na circunferência unitária. Assim, os vértices de \(\mathcal P\) e \(\mathcal I\) formam dois hexágonos regulares de raio circunscrito \(1\), com uma rotação relativa de \(30^\circ\). A … |
| 2 (Matemática) | = | \frac25. |
Temos \[ 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=\frac{z^6-1}{z-1}\quad(z\ne1). \] Como \(z=1\) não é raiz, as raízes são as seis raízes sextas da unidade, exceto \(1\): \[ z_k=e^{ik\pi/3},\qquad k=1,2,3,4,5. \] Para qualquer uma delas, \(|z_k|=1\). Logo, \… |
| 3 (Matemática) | = | 7 |
Para \(t\ge 0\), temos \(g_n(t)=1\) para todo \(n\), logo \[ f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{3^n}=\frac12. \] Se \(t=-a<0\), então \(g_n(t)=1\) exatamente quando \[ -a>-\frac1n \quad\Longleftrightarrow\quad n<\frac1a. \] Para um inteiro … |
| 4 (Matemática) | = | 1345. |
Agrupando os fatores segundo as raízes \(x_j\), a expressão é \[ \prod_{j=1}^{2}\prod_{i=1}^{3}(x_j+y_i). \] Como \(y_1,y_2,y_3\) são raízes de \(p(y)=y^3-4y-2\), \[ \prod_{i=1}^{3}(x+y_i)=-p(-x)=x^3-4x+2. \] Logo, precisamos calcular \[ … |
| 5 (Matemática) | = | \boxed{512+5540u-512u^2}, com u dado acima \;(\approx 11196{,}4994). |
Seja \(d>0\) a razão da progressão aritmética formada pelos logaritmos. Como a média dos cinco logaritmos de índices ímpares é \(\log_2 x_5\), temos \[ 5\log_2 x_5=\log_2(x_1x_3x_5x_7x_9)=45, \] logo \(x_5=2^9=512\). Defina \(t=2^d>1\) e… |
| 6 (Matemática) | = | \frac13. |
Como \(f\) é bijetora, ela define uma permutação de \(S\). Se o ciclo de \(1\) tem comprimento \(k\), então \(f^{(9)}(1)=1\) se, e somente se, \(k\mid 9\). Logo, os comprimentos favoráveis são \(k=1,3,9\). Para cada \(k\in\{1,\ldots,9\}\… |
| 7 (Matemática) | = | \operatorname{tr}(AB) é divisível por 1013. |
Pela definição do traço, \[ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{j=1}^{n+2} \left(a_{1j}b_{j1}+a_{2j}b_{j2}+a_{3j}b_{j3}\right). \] Usando a convenção de que os coeficientes binomiais fora do intervalo são nulos e a identidade de Vandermonde, \[ \… |
| 8 (Matemática) | = | \displaystyle S_n=\frac{\sen(n\alpha)}{\sen(2\alpha)\cos((n+1)\alpha)}. |
Usando a identidade soma-produto, \[ \cos\alpha+\cos((2k+1)\alpha) =2\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha). \] Além disso, \[ \tan((k+1)\alpha)-\tan(k\alpha) =\frac{\sin\alpha}{\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha)}. \] Como os cossenos envolvidos não … |
| 9 (Matemática) | = | (2\sqrt3,\frac17), (2\sqrt3,-\frac17), (-2\sqrt3,\frac17) e (-2\sqrt3,-\frac17). |
Escreva \(P=(x,y)\). Um vetor diretor da normal à elipse nesse ponto é \((x,4y)\). Para \(y\neq 0\), a normal pode ser parametrizada por \[ (x,y)+t(x,4y). \] Sua interseção com o eixo \(x\) ocorre quando \(y+4ty=0\), isto é, para \(t=-\fr… |
| 10 (Matemática) | = | a) 192\sqrt3\ \text{cm}^3; b) altura 4\sqrt3\ \text{cm} e base quadrada de lado 4\sqrt3\ \text{cm}. |
Se a face cujos vértices estão na esfera for uma base, seja \(d\) a distância de seu plano ao centro da esfera. Seus vértices pertencem a um círculo de raio \[ \rho=\sqrt{36-d^2}. \] A área de um quadrilátero contido em um círculo de raio… |