DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6 Astra
Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | 12\sqrt3-18. |
As raízes são \[ z_k=e^{ik\pi/6},\qquad k=0,1,\ldots,11, \] e estão sobre a circunferência de centro na origem e raio \(1\). Assim, os dois hexágonos regulares estão girados de \(30^\circ\) um em relação ao outro. Cada hexágono é formado… |
| 2 (Matemática) | = | \boxed{\dfrac25}. |
Como \(z=1\) não é raiz da equação, podemos usar a identidade \[ (z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5)=z^6-1. \] Assim, as raízes da equação são as raízes sextas da unidade, exceto \(1\): \[ z_k=e^{ik\pi/3},\qquad k=1,2,3,4,5. \] Explicitamente, são… |
| 3 (Matemática) | = | 7. |
Como \(g_n(t)\in\{0,1\}\), cada parcela de \(f(t)\) vale \(0\) ou \(3^{-n}\). Em particular, para \(t\geq 0\), temos \(g_n(t)=1\) para todo \(n\), de modo que \[ f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{3^n} =\frac{1/3}{1-1/3}=\frac12. \] Se \(x\)… |
| 4 (Matemática) | = | 1345. |
Seja \(P\) o produto pedido. Agrupando os fatores de acordo com \(x_1\) e \(x_2\), temos \[ P=\prod_{j=1}^{2}(x_j+y_1)(x_j+y_2)(x_j+y_3). \] Pelas relações de Viète para \(y^3-4y-2=0\), \[ y_1+y_2+y_3=0,\qquad y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3=-4,\qq… |
| 5 (Matemática) | = | \boxed{512+5540T-512T^2}, com T definido acima (\approx11196{,}4994). |
Como os logaritmos formam uma PA de razão \(d>0\), os números \(x_1,\ldots,x_9\) formam uma PG de razão \(q=2^d>1\). Assim, \[ x_k=x_5q^{k-5}. \] Consequentemente, \[ x_1x_3x_5x_7x_9=x_5^5=2^{45} \quad\Longrightarrow\quad x_5=2^9=512. \] … |
| 6 (Matemática) | = | \boxed{\frac13}. |
Toda bijeção \(f:S\to S\) é uma permutação, e há \(9!\) escolhas igualmente prováveis. Seja \(k\) o comprimento do ciclo que contém o elemento \(1\). Ao aplicar \(f\) repetidamente, retornamos a \(1\) exatamente quando o número de aplica… |
| 7 (Matemática) | = | \displaystyle \operatorname{tr}(AB)=\binom{2026}{1001}\equiv0\pmod{1013}. |
Pela **identidade de Vandermonde**, \[ \sum_k\binom{r}{k}\binom{s}{t-k}=\binom{r+s}{t}, \] considerando nulos os coeficientes com índices inferiores fora do intervalo permitido. Seja \(C=AB\). Calculando suas entradas diagonais e aplican… |
| 8 (Matemática) | = | \displaystyle S_n=\frac{\sen(n\alpha)}{\sen(2\alpha)\cos((n+1)\alpha)}. |
Pela fórmula da soma de cossenos, \[ \cos\alpha+\cos((2k+1)\alpha) =2\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha), \] que é não nulo pelas hipóteses. Além disso, \[ \tan((k+1)\alpha)-\tan(k\alpha) =\frac{\sen((k+1)\alpha-k\alpha)} {\cos(k\alpha)\cos((… |
| 9 (Matemática) | = | \left(\pm2\sqrt3,\pm\frac17\right), com sinais independentes (quatro pontos). |
A elipse pode ser escrita como \[ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1. \] Logo, seus semieixos são \(a=4\) e \(b=2\), de modo que \[ c^2=a^2-b^2=12\quad\Rightarrow\quad c=2\sqrt3. \] Seja \(P=(u,v)\), com \(u^2+4v^2=16\). A tangente à elipse … |
| 10 (Matemática) | = | a) 192\sqrt3\ \text{cm}^3; b) altura 4\sqrt3\ \text{cm} e base quadrada de dimensões 4\sqrt3\ \text{cm}\times4\sqrt3\ \text{cm}. |
### (a) Volume máximo Sejam \(O\) o centro da esfera, \(h\) a altura do prisma e \(A\) a área de sua base. Como os planos das bases estão separados por uma distância \(h\), pelo menos um deles está a uma distância \(d\geq h/2\) de \(O\)… |