DESEMPENHO NESTA PROVA
Gemini 4 Argon
Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | 6(2√3 - 3) |
As doze raízes complexas da equação $z^{12} = 1$ são dadas, na forma trigonométrica, por: $$z_k = \cos\left(\frac{2k\pi}{12}\right) + i\,\text{sen}\left(\frac{2k\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{k\pi}{6}\right) + i\,\text{sen}\left(\frac{… |
| 2 (Matemática) | = | 2/5 |
**Resolução:** A equação dada é: $$1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 = 0$$ Sabendo que a soma acima representa uma progressão geométrica de razão $z$, e notando que $z = 1$ não é raiz da equação (pois $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 \neq 0$), po… |
| 3 (Matemática) | = | 7 |
Para determinar o menor valor inteiro de $x$ que satisfaz a inequação, devemos primeiramente analisar o comportamento da função $f(x)$ nos diferentes intervalos reais. Note que, devido ao termo $-\frac{1}{x}$, devemos ter $x \neq 0$. **1… |
| 4 (Matemática) | = | 1345 |
Para determinar o valor da expressão pedida, definimos a expressão como $E$: $$E = (y_1 + x_1)(y_1 + x_2)(y_2 + x_1)(y_2 + x_2)(y_3 + x_1)(y_3 + x_2)$$ Sejam os polinômios $P(y) = y^3 - 4y - 2$ e $Q(x) = x^2 - 7x - 3$. Pelas raízes forne… |
| 5 (Matemática) | ≠ | 10912 |
**Resolução:** Sejam $y_i = \log_2 x_i$, para $i \in \{1, 2, \dots, 9\}$. Como a sequência $(y_1, y_2, \dots, y_9)$ é uma progressão aritmética (P.A.) de razão $r > 0$, temos: $$y_i = y_5 + (i - 5)r \implies x_i = 2^{y_i} = 2^{y_5} \cdot… |
| 6 (Matemática) | = | 1/3 |
Para determinar a probabilidade desejada, note inicialmente que uma função bijetora $f : \mathcal{S} \to \mathcal{S}$ corresponde a uma permutação dos $9$ elementos do conjunto $\mathcal{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Assim, o númer… |
| 7 (Matemática) | ≠ | Demonstração. |
Seja $\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$. Como $\mathbf{A}$ é uma matriz de ordem $3 \times (n+2)$ e $\mathbf{B}$ é uma matriz de ordem $(n+2) \times 3$, a matriz produto $\mathbf{C} = [c_{ij}]$ tem ordem $3 \times 3$. O traço da… |
| 8 (Matemática) | = | S_n = sen(nα) / [sen(2α) cos((n+1)α)] (C.Q.D.) |
Para demonstrar a identidade proposta, vamos inicialmente manipular o termo geral do somatório utilizando as fórmulas de transformação de soma em produto (prostaférese). Sabemos que: $$\cos p + \cos q = 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \… |
| 9 (Matemática) | = | (±2√3, ±1/7) |
Para determinar os pontos de interseção solicitados, primeiramente colocamos a equação da elipse na sua forma canônica, dividindo ambos os lados por $16$: $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$$ Dessa equação, identificamos os semieixos m… |
| 10 (Matemática) | = | a) 192√3 cm³; b) altura de 4√3 cm e base quadrada de dimensões 4√3 cm × 4√3 cm |
Para determinar o volume máximo do prisma e suas respectivas dimensões, posicionemos o centro $O$ da esfera $\mathcal{S}$ de raio $R = 6\text{ cm}$ na origem de um sistema de coordenadas cartesianas $Oxyz$, de modo que o eixo $Oz$ seja pa… |