DESEMPENHO NESTA PROVA
DeepSeek V4.1 Flash
Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | ? | ||
| 2 (Matemática) | = | 2/5 |
**Resolução:** A equação $1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=0$ é uma soma de PG de razão $z$: $$\frac{z^6-1}{z-1}=0 \quad (z\ne 1).$$ Logo as raízes são as raízes sextas da unidade distintas de $1$: $$z_k=e^{i\theta_k},\qquad \theta_k=\frac{\pi k}{3},… |
| 3 (Matemática) | = | 7 |
Seja \(x\in\mathbb Z\), \(x\ne 0\). Temos \[ g_n(x)=1 \iff x>-\frac1n. \] ### 1. Cálculo de \(f(x)\) - Se \(x\ge 0\), então para todo \(n\), \(x>-\frac1n\). Logo \[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac13\right)^n=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac1… |
| 4 (Matemática) | = | 1345 |
Seja \(P(y)=y^3-4y-2\). Como \(y_1,y_2,y_3\) são suas raízes, \[ P(y)=\prod_{i=1}^3 (y-y_i). \] Assim, para cada \(x_j\), temos \[ \prod_{i=1}^3 (x_j+y_i) = -\prod_{i=1}^3 (-x_j-y_i) = -P(-x_j). \] Logo, \[ P(-x_j)=(-x_j)^3-4(-x_j)-2=-x_j… |
| 5 (Matemática) | = | S=512+5540t-512t^2\approx11196{,}4994, com t=\sqrt[3]{\frac{1385}{256}+\sqrt{\frac{1385^2}{65536}-\frac8{27}}}+\sqrt[3]{\frac{1385}{256}-\sqrt{\frac{1385^2}{65536}-\frac8{27}}}. |
Seja \(y_i=\log_2 x_i\). Como \((y_1,\dots,y_9)\) é uma PA de razão positiva, os \(x_i\) formam uma PG: \[ x_i=x_1q^{i-1},\qquad q>1. \] Assim, os cinco termos de índice ímpar são simétricos em torno de \(x_5\), logo \[ x_1x_3x_5x_7x_9=x_… |
| 6 (Matemática) | = | \frac13 |
Seja \(S=\{1,2,\dots,9\}\). Uma função bijetora \(f:S\to S\) é uma permutação de 9 elementos. O valor \(f^{(9)}(1)\) é obtido aplicando-se \(f\) nove vezes ao elemento 1. O elemento 1 pertence a um ciclo de comprimento \(k\), com \(1\le … |
| 7 (Matemática) | = | \operatorname{tr}(AB)=\dbinom{2026}{1001}, que é divisível por 1013. |
Sejam \[ A=[a_{ij}]_{3\times(n+2)},\qquad B=[b_{ij}]_{(n+2)\times3}. \] O traço de \(AB\) é \[ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{k=1}^3 (AB)_{kk} =\sum_{k=1}^3\sum_{j=1}^{n+2} a_{kj}b_{jk}. \] Temos \[ a_{1j}=\binom{m}{j-3},\quad a_{2j}=\binom{… |
| 8 (Matemática) | = | S_n=\dfrac{\sen(n\alpha)}{\sen(2\alpha)\cos((n+1)\alpha)}. |
Temos: \[ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{\cos\alpha+\cos(2k+1)\alpha}. \] Usando a identidade de transformação em produto: \[ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}, \] com \(A=\alpha\) e \(B=(2k+1)\alpha\), obtemos \[ \cos\alpha+\c… |
| 9 (Matemática) | = | \left(2\sqrt3,\frac17\right),\left(2\sqrt3,-\frac17\right),\left(-2\sqrt3,\frac17\right),\left(-2\sqrt3,-\frac17\right) |
Seja \(P=(x_0,y_0)\) um ponto da elipse \[ x^2+4y^2=16. \] A reta normal à elipse em \(P\) tem equação \[ 4y_0x-x_0y=3x_0y_0. \] Ela intercepta o eixo \(x\) quando \(y=0\): \[ 4y_0x=3x_0y_0 \Rightarrow x=\frac{3x_0}{4}, \] logo \[ Q=\left… |
| 10 (Matemática) | = | a) 192\sqrt3\ \text{cm}^3; b) altura 4\sqrt3\ \text{cm} e base quadrada de lado 4\sqrt3\ \text{cm}. |
Seja \(R=6\) cm. Considere a face cujos quatro vértices estão na superfície da esfera. Inicialmente vamos tratá-la como uma base do prisma; o caso de face lateral conduz à mesma configuração ótima. Seja \(d\) a distância do centro \(O\) … |