Claude Sonnet 5.5

Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.

Questão	Com a maioria	Resposta final	Resposta
1 (Matemática)	=	12√3 − 18	Configuração. As raízes de z¹² = 1 são z_k = e^{iπk/6}, todas na circunferência unitária. Os vértices de 𝒫 (k par) estão nos ângulos 0°, 60°, 120°, … e os de ℐ (k ímpar) nos ângulos 30°, 90°, 150°, …. Assim, ℐ é 𝒫 girado de 30°, e amb…
2 (Matemática)	=	2/5	Raízes da equação. Como 1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ = (z⁶ − 1)/(z − 1) para z ≠ 1, as raízes são as raízes sextas da unidade, exceto z = 1. Ou seja, z = e^{iθ} com θ = π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3. São 5 raízes, todas com \|z\| = 1. **Inequa…
3 (Matemática)	=	7	Cálculo de f. Como g_n(t) = 1 se t > −1/n e g_n(t) = 0 caso contrário, só contribuem para f(t) os termos com g_n(t) = 1, e cada um vale (1/3)ⁿ. - Se t ≥ 0, então t > −1/n para todo n, logo f(t) = Σ (1/3)ⁿ = (1/3)/(1 − 1/3) = 1/2. - S…
4 (Matemática)	=	1345	Seja p(y) = y³ − 4y − 2 = (y − y₁)(y − y₂)(y − y₃). A expressão pedida é o produto, para j = 1, 2, de ∏ᵢ (yᵢ + xⱼ). Passo 1: fixar xⱼ. Para x fixo, temos ∏ᵢ (yᵢ + x) = (−1)³ ∏ᵢ (−x − yᵢ) = −p(−x). Como p(−x) = −x³ + 4x − 2, segue qu…
5 (Matemática)	=	x₁+x₃+x₅+x₇+x₉ = 512(s²+s−1), com s = q²+q⁻² e q+q⁻¹ a raiz de t³−2t = 1385/128, o que dá aproximadamente 1,12·10⁴ (≈ 11 196)	Montagem. Seja log₂xₙ = a + (n−1)r, com r > 0. Então xₙ = 2^a·(2^r)^(n−1). Produto dos termos ímpares. Os índices 1, 3, 5, 7, 9 dão log₂(x₁x₃x₅x₇x₉) = 5a + 20r = 5(a+4r) = 45, logo a + 4r = 9 e x₅ = 2⁹ = 512. Seja q = 2^r > 1.…
6 (Matemática)	=	1/3	Interpretação. Como f é uma permutação de S, f⁽⁹⁾(1) = 1 se, e somente se, o comprimento k do ciclo que contém o elemento 1 divide 9. Isso vale para k = 1, 3 ou 9. Contagem. Fixado k, contamos as permutações em que o ciclo de 1 t…
7 (Matemática)	=	tr(A·B) = C(2026, 1001), que é divisível por 1013 (o expoente do primo 1013 na fatoração é 1).	Cálculo do traço. Como A é 3×(n+2) e B é (n+2)×3, o produto A·B é 3×3 e tr(AB) = Σ_{i=1}^{3} Σ_{j=1}^{n+2} a_ij · b_ji. Pelas definições, b_j1 = b_j2 = C(n, n+2−j) e b_j3 = C(n+1, n+2−j). Logo tr(AB) = Σ_j [ C(m, j−3)·C(n, n+2−j) +…
8 (Matemática)	=	Sₙ = sen(nα) / [sen(2α) cos((n+1)α)], demonstrado pela soma telescópica com cos α + cos(2k+1)α = 2cos(kα)cos((k+1)α).	Ideia: transformar a soma da esquerda em uma soma telescópica. 1) Fatoração do denominador. Pela fórmula de soma para cossenos, cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A−B)/2). Com A = (2k+1)α e B = α: cos α + cos(2k+1)α = 2 cos((k+…
9 (Matemática)	=	(±2√3, ±1/7), isto é, os quatro pontos (2√3, 1/7), (2√3, −1/7), (−2√3, 1/7) e (−2√3, −1/7), sobre o lugar geométrico x²/(49/4) + y² = 1.	Dados da elipse. Escrevendo x²/16 + y²/4 = 1, temos a = 4 e b = 2. Então c² = a² − b² = 12, ou seja, c = 2√3. As retas pedidas são x = ±2√3. Normal e ponto Q. Seja P = (x₀, y₀) na elipse, com y₀ ≠ 0 (se y₀ = 0, a normal é o própr…
10 (Matemática)	=	a) 192√3 cm³; b) altura 4√3 cm e base quadrada de lado 4√3 cm (cubo)	Seja a o lado da base quadrada e h a altura do prisma. A esfera tem raio 6, logo seu diâmetro é 12. O prisma está contido na esfera, então sua diagonal espacial é no máximo 12. Prisma na esfera. Um paralelepípedo com arestas a, a e h…