DESEMPENHO NESTA PROVA
Claude Opus 5.5
Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | 12\sqrt3-18 |
**Resultado:** a área da união é $12\sqrt3-18$. Adoto a indexação usual, $z_k=\cos\frac{2\pi k}{12}+i\,\text{sen}\,\frac{2\pi k}{12}$ para $k=0,\dots,11$, que o enunciado não fixa explicitamente. **Os dois hexágonos.** As doze raízes est… |
| 2 (Matemática) | = | 2/5 |
**Raízes da equação** O lado esquerdo é a soma de uma progressão geométrica. Para $z \neq 1$: $$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=\frac{z^6-1}{z-1}=0 \iff z^6=1,\ z\neq 1.$$ $z=1$ não é raiz, pois daria $6 \neq 0$. As raízes são então as raízes sext… |
| 3 (Matemática) | = | 7 |
**Cálculo de f(x)** Para cada n, g_n(x) = 1 exatamente quando x > −1/n. Caso contrário, g_n(x) = 0, e o termo correspondente da série se anula. - **Se x ≥ 0:** vale x > −1/n para todo n. Então g_n(x) = 1 para todo n, e f(x) = Σ_{n≥1}… |
| 4 (Matemática) | = | 1345 |
**Ideia:** reescrever o produto como um polinômio avaliado nas raízes $x_j$ e depois reduzir o grau usando a equação de $x$. **Passo 1 – Produto em $y$.** Seja $P(y)=y^3-4y-2=(y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)$. Para um $x$ qualquer: $$\prod_{i=1}^{… |
| 5 (Matemática) | ≠ | 10912 (supondo que o valor correto seja 5440; com 5540 literal, a soma seria aproximadamente 11196) |
**Termos em PG.** Como $\log_2 x_1,\dots,\log_2 x_9$ formam uma PA de razão $d>0$, os números $x_1,\dots,x_9$ formam uma PG de razão $q=2^d>1$. **Cálculo de $x_5$.** No produto, $x_1x_9=x_3x_7=x_5^2$, logo $$x_1x_3x_5x_7x_9=x_5^5=2^{45}… |
| 6 (Matemática) | = | \dfrac{1}{3} |
**Ideia:** $f^{(9)}(1)=1$ depende só do comprimento do ciclo de $f$ que contém o elemento 1. **1. Condição sobre o ciclo.** Toda bijeção $f:\mathcal S\to\mathcal S$ se decompõe em ciclos disjuntos. Seja $k$ o comprimento do ciclo que con… |
| 7 (Matemática) | = | \operatorname{tr}(AB)=\binom{m+n+2}{n+1}=\binom{2026}{1001}, que é divisível pelo primo 1013 (o expoente de 1013 nele é 2-0-1=1). |
**Cálculo do traço.** $$\operatorname{tr}(AB)=\sum_{j=1}^{n+2}\left(a_{1j}b_{j1}+a_{2j}b_{j2}+a_{3j}b_{j3}\right)=S_1+S_2+S_3 .$$ Usaremos a identidade de Vandermonde, $\sum_k \binom{p}{k}\binom{q}{r-k}=\binom{p+q}{r}$. Ela vale somando… |
| 8 (Matemática) | = | S_n=\dfrac{\operatorname{sen}(n\alpha)}{\operatorname{sen}(2\alpha)\cos((n+1)\alpha)} (demonstrado via \cos\alpha+\cos(2k+1)\alpha=2\cos k\alpha\cos(k+1)\alpha e telescopagem de \tan((k+1)\alpha)-\tan(k\alpha)). |
Transformamos cada termo numa diferença de tangentes, e a soma fica telescópica. **1) Hipóteses e denominadores.** Como $\operatorname{sen}\alpha\neq 0$ e $\cos\alpha\neq 0$ (caso $j=1$), temos $\operatorname{sen}2\alpha = 2\operatorname… |
| 9 (Matemática) | = | (2\sqrt3,\tfrac17), (2\sqrt3,-\tfrac17), (-2\sqrt3,\tfrac17), (-2\sqrt3,-\tfrac17) |
**Resposta: os quatro pontos (2√3, 1/7), (2√3, −1/7), (−2√3, 1/7) e (−2√3, −1/7).** **Dados da elipse** $$x^2+4y^2=16 \iff \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1,$$ logo $a=4$ e $b=2$. Então $c^2=a^2-b^2=16-4=12$, ou seja, $c=2\sqrt3$. **Norm… |
| 10 (Matemática) | = | a) 192\sqrt3\ \text{cm}^3; b) altura 4\sqrt3 cm e base quadrada de lados 4\sqrt3 cm × 4\sqrt3 cm (cubo de aresta 4\sqrt3 cm) |
**Montagem.** Seja $h$ a altura do prisma. Coloque o eixo $z$ perpendicular às bases, com o centro $O$ da esfera na origem. As bases ficam nos planos $z=z_1$ e $z=z_2$, com $z_2-z_1=h$. **Limitante superior para o volume.** - A base de … |