DESEMPENHO NESTA PROVA
Claude Fable 5.1
Na prova IME 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | = | 12\sqrt3-18 = 6(2\sqrt3-3) |
**Solução** As raízes de $z^{12}=1$ são $z_k=\operatorname{cis}\left(\dfrac{2k\pi}{12}\right)=\operatorname{cis}(30^\circ k)$, $k=0,\dots,11$, todas sobre a circunferência unitária. - $\mathcal P$ tem vértices em $0^\circ,60^\circ,120^\… |
| 2 (Matemática) | = | 2/5 |
**Resolução** Para $z \neq 1$, multiplicando a equação por $(z-1)$: $$(z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5) = z^6 - 1 = 0$$ Logo as raízes são as raízes sextas da unidade diferentes de $1$: $$z_k = \operatorname{cis}\left(\frac{k\pi}{3}\right) =… |
| 3 (Matemática) | = | 7 |
**Cálculo de f(x)** Temos $g_n(x)=1 \iff x>-\dfrac1n$, e $g_n(x)=0$ caso contrário. Como $0^n=0$ e $(1/3)^n$ para os termos com $g_n=1$: - Se $x\ge 0$: $x>-\frac1n$ para todo $n$, logo $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac13\right)^n=\f… |
| 4 (Matemática) | = | 1345 |
**Resolução** Sejam $f(y) = y^3 - 4y - 2 = (y-y_1)(y-y_2)(y-y_3)$ e $g(x) = x^2 - 7x - 3$, com raízes $x_1, x_2$ (logo $x_1 + x_2 = 7$ e $x_1x_2 = -3$). **Passo 1 – fixar $x_j$ e multiplicar sobre as raízes $y_i$:** $$\prod_{i=1}^{3}(y… |
| 5 (Matemática) | ≠ | 10912 |
**Montando a PG** Como $\log_2 x_1,\dots,\log_2 x_9$ formam uma PA de razão $d>0$, escrevendo $\log_2 x_i = a+(i-1)d$, temos $x_i = 2^{a}\cdot (2^{d})^{\,i-1}$, ou seja, $x_1,\dots,x_9$ formam uma PG de razão $q=2^{d}>1$. **Usando o pro… |
| 6 (Matemática) | = | 1/3 |
**Resolução** Uma função bijetora $f:\mathcal S\to\mathcal S$ é uma permutação dos 9 elementos; há $9!$ permutações, todas igualmente prováveis. Toda permutação se decompõe em ciclos disjuntos. Se o elemento 1 pertence a um ciclo de com… |
| 7 (Matemática) | = | \operatorname{tr}(\mathbf{AB})=\binom{m+n+2}{n+1}=\binom{2026}{1001}, que é divisível por 1013 (pois 1001\binom{2026}{1001}=2\cdot1013\binom{2025}{1000} e \operatorname{mdc}(1001,1013)=1). |
**Cálculo do traço de A·B** A matriz $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$ é $3\times 3$ e seu traço é $$\operatorname{tr}(\mathbf{AB})=\sum_{k=1}^{3}\sum_{j=1}^{n+2}a_{kj}\,b_{jk}.$$ Usaremos a identidade de Vandermonde (com a convenção $\binom… |
| 8 (Matemática) | = | S_n=\dfrac{\operatorname{sen}(n\alpha)}{\operatorname{sen}(2\alpha)\cos((n+1)\alpha)} (identidade demonstrada por soma telescópica, usando \cos\alpha+\cos(2k+1)\alpha=2\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha) e \tan((k+1)\alpha)-\tan(k\alpha)=\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos(k\alpha)\cos((k+1)\alpha)}). |
**Solução.** **Passo 1 – Fatorar o denominador.** Pela fórmula de prostaférese (soma de cossenos), $$\cos\alpha+\cos(2k+1)\alpha = 2\cos\!\left(\frac{(2k+1)\alpha+\alpha}{2}\right)\cos\!\left(\frac{(2k+1)\alpha-\alpha}{2}\right)=2\cos((… |
| 9 (Matemática) | = | (\pm2\sqrt3,\ \pm\tfrac17), isto é, os quatro pontos (2\sqrt3, 1/7), (2\sqrt3,-1/7), (-2\sqrt3,1/7), (-2\sqrt3,-1/7); o lugar geométrico de M é a elipse \dfrac{4x^2}{49}+y^2=1. |
**Elipse:** $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$, logo $a=4$, $b=2$, $c^2=a^2-b^2=12 \Rightarrow c=2\sqrt3$. **Normal em $P=(x_0,y_0)$:** Derivando $x^2+4y^2=16$: $2x+8y\,y'=0 \Rightarrow y'=-\dfrac{x_0}{4y_0}$ (coeficiente angular da tan… |
| 10 (Matemática) | = | a) 192\sqrt3\ \text{cm}^3; b) altura 4\sqrt3 cm e base quadrada de lado 4\sqrt3 cm (cubo de aresta 4\sqrt3 cm). |
**Modelagem.** Seja $h$ a altura do prisma e tomemos o centro da esfera na origem, com as bases nos planos $z=z_0$ e $z=z_0+h$. Cada vértice $(x,y,z_0)$ da base inferior tem seu correspondente $(x,y,z_0+h)$ na base superior; para ambos fi… |