Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, E; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Cada lado de um quadradinho mede 1\ \text{m}. Como as duas caminham a 1\ \text{m/min}, elas permanecem juntas quando percorrem o mesmo trecho, no mesmo instante. Não basta contar as partes comuns das bordas.

1. Na borda superior, elas percorrem juntas os primeiros 3\ \text{m}, durante 3 minutos. Depois, a aranha desce pelo contorno cinza, enquanto a formiga continua pela borda externa.

2. Até o reencontro na borda direita, cada uma percorre mais 4\ \text{m}: a formiga anda 2 para a direita e 2 para baixo; a aranha anda 1 para baixo, 1 para a direita, 1 para baixo e 1 para a direita. Elas se reencontram no minuto 7 e descem juntas por 2\ \text{m}: mais 2 minutos.

3. Na parte inferior direita, elas se separam, mas cada uma percorre 2\ \text{m} até o próximo encontro, no minuto 11. Depois, seguem juntas para a esquerda por 2\ \text{m}: mais 2 minutos.

Na reentrância inferior, a aranha percorre 3\ \text{m} enquanto a formiga percorre apenas 1\ \text{m}. A aranha fica atrasada e não há outro encontro.

Portanto, o tempo total juntas é

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AOs 11 minutos marcam o início do último trecho juntas, não o tempo total lado a lado.
• BOs três intervalos juntas duram 3, 2 e 2 minutos, cuja soma não é 6.
• CContabiliza tempo além dos três intervalos em que elas caminham juntas.
• EO tempo lado a lado é 7 minutos, não 10, pois há trechos percorridos separadamente.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Áreas e perímetros de polígonos.

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