Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, E; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Cada lado de um quadradinho mede 1\ \text{m}. Como ambas caminham a 1\ \text{m/min}, cada lado leva um minuto. Para andarem juntas, não basta passarem pelo mesmo trecho: precisam estar nele ao mesmo tempo.

Na borda superior, elas percorrem juntas os primeiros 3\ \text{m}, durante 3 minutos. Depois, a aranha entra pelo contorno cinza, enquanto a formiga continua pela borda externa.

Do ponto de separação até o ponto onde o contorno cinza alcança a borda direita, cada uma percorre 4\ \text{m}. Assim, elas se reencontram no minuto 3+4=7.

Na borda direita, descem juntas por 2\ \text{m}, do minuto 7 ao 9: mais 2 minutos.

A seguir, a aranha anda um metro para a esquerda e um para baixo; a formiga anda um para baixo e um para a esquerda. Ambas gastam dois minutos e se reencontram na borda inferior, no minuto 11.

Elas seguem juntas para a esquerda por 2\ \text{m}, até o minuto 13: mais 2 minutos. No recorte seguinte, a aranha percorre três lados enquanto a formiga percorre apenas um. A aranha fica dois minutos atrás e não volta a acompanhá-la antes do término.

Portanto, o tempo total é

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AExcede os 7 minutos obtidos somando os três intervalos em que elas caminham juntas.
• BSubestima o tempo conjunto: são 3 minutos no alto, 2 à direita e 2 embaixo.
• CNão corresponde à soma dos intervalos de movimento simultâneo, que resulta em 7 minutos.
• EExcede o tempo conjunto ao contabilizar minutos em que elas não estão lado a lado.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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