Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2024

Question

As figuras mostram as vistas de frente, de cima e da esquerda de um sólido montado com cubos iguais. Quantos cubos tem esse sólido?

Vista de frente Vista de cima Vista da esquerda

A
16
B
14
C
13
D
15
E
12

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2024

Nível 2 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

As figuras mostram as vistas de frente, de cima e da esquerda de um sólido montado com cubos iguais. Quantos cubos tem esse sólido?

Vista de frente Vista de cima Vista da esquerda

A
16
B
14
C
13
D
15
E
12

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Iremos reconstruir ao sólido a partir das vistas.. Para isso, vamos imaginar que o sólido está montado sobre um tabuleiro e registraremos quantos cubinhos estamos empilhando em cada quadrado dele, como indicam as figuras abaixo.

[Figura: à esquerda, representação de um cubo em perspectiva com tabuleiro 3 \times 3 na base contendo as posições de A a I e setas indicando as direções CIMA, ESQUERDA e FRENTE; à direita, grade 3 \times 3 com as posições A, B, C na primeira linha, D, E, F na segunda linha e G, H, I na terceira linha]

Pela vista de cima [Figura: vista de cima composta por 7 quadradinhos cinzas distribuídos em uma grade 3 \times 3, ocupando as três posições da primeira linha, apenas a central da segunda linha e as três da terceira linha], podemos inferir que ele tem a distribuição:

A	B	C
0	E	0
G	H	I

pois não há cubos nas posições D e F.

Pela vista da esquerda [Figura: vista da esquerda com colunas de alturas 3, 2 e 1 quadradinhos cinzas, da esquerda para a direita], apenas a primeira linha pode ter 3 cubinhos empilhados, mas não sabemos ainda se estão em A, em B ou em C.

Isso é decidido olhando a vista da frente [Figura: vista frontal com colunas de alturas 3, 3 e 2 quadradinhos cinzas, da esquerda para a direita]. Concluímos que temos A = B = 3.

Pela vista de cima, para todos os quadradinhos da última linha, temos que ter pelo menos 1 cubinho em cada posição e, pela vista da esquerda, não podemos ter mais que 1. Portanto, G = H = I = 1. Analisando a vista da esquerda, no meio dela vemos apenas 2 cubinhos, e isso só pode ocorrer se E = 2. Finalmente, pela vista de frente, como I = 1, devemos ter C = 2. Logo, a distribuição completa é

3	3	2
0	2	0
1	1	1

[Figura: representação em perspectiva isométrica do sólido tridimensional formado pelo empilhamento de 13 cubinhos cinzas sobre o tabuleiro]

Assim, o total de cubinhos é 3 + 3 + 2 + 0 + 2 + 0 + 1 + 1 + 1 = 13.

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Publicada pela banca.

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, D; versão 3, E; versão 4, A; versão 5, B.

Resolução comentada

Cada vista mostra a altura máxima em cada direção. Sejam x a posição da esquerda para a direita, y a profundidade (da frente y=1 até o fundo y=3) e as alturas contadas em cubos.

Frente: as colunas x=1,2,3 têm alturas máximas 3,3,2.
Cima: há cubos em 7 posições: fundo (y=3) com x=1,2,3; meio (y=2) só com x=2; frente (y=1) com x=1,2,3.
Esquerda: vista da esquerda, o fundo fica à esquerda da imagem. As alturas máximas são 3 para y=3, 2 para y=2 e 1 para y=1.

Agora a altura de cada posição:

Fundo (y=3): o limite é 3. Para x=1 e x=2 a vista da frente exige altura 3. Para x=3 exige 2, e só o fundo pode dar essa altura nessa coluna, porque a frente tem limite 1 e o meio não tem cubo em x=3. Total: 3+3+2=8.
Meio (y=2): só x=2, e a vista da esquerda exige altura 2 nessa fileira. Total: 2.
Frente (y=1): o limite é 1 e as três posições são ocupadas pela vista de cima. Total: 3.

Todas as alturas ficam determinadas, então a soma é

8+2+3=13.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

APassa de 13: ignora que as alturas do fundo, do meio e da frente são limitadas pela vista da esquerda.
BPassa de 13: ignora os limites de altura da vista da esquerda.
DPassa de 13: ignora os limites de altura da vista da esquerda.
EFica abaixo de 13: não há cubos suficientes para produzir as três vistas.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 16 no caderno Nível 2 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 2. Prova oficial ↗

Numeração da versão 1. Nas outras versões: versão 2, questão 17versão 3, questão 18versão 4, questão 16versão 5, questão 17