Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Cada caminho é uma sequência de escolhas, então dá para contar nível por nível. Cada túnel horizontal é uma reta, e como a formiguinha não repete trechos, nela ela só anda em um sentido até descer.

Do topo até o túnel do meio

1. No túnel de cima, partindo de A, ela pode descer em três lugares: no vertical da esquerda, no vertical do meio (entre os dois blocos de cima) ou no vertical da direita.
2. Nos dois primeiros casos ela chega ao túnel horizontal da esquerda (acima do bloco menor). De lá só existem duas descidas até o túnel do meio: a da esquerda e a ao lado da "perna" do bloco em T. Isso dá 2 caminhos para cada entrada, ou seja, 2+2=4 caminhos.
3. No terceiro caso ela chega ao túnel horizontal da direita, que tem duas descidas: uma de cada lado do bloco pequeno. Isso dá 2 caminhos.

Ao chegar ao túnel do meio há 6 caminhos, e eles se distribuem assim: 2 chegam ao ponto mais à esquerda, 2 chegam à descida ao lado da perna do T, 1 chega à descida da direita do T e 1 chega à ponta direita.

Do túnel do meio até B

O túnel do meio tem três descidas para o túnel de baixo: na ponta esquerda, entre os dois blocos de baixo e à direita, perto de B. Cada descida leva a B por um único caminho, pois o túnel de baixo só segue para a direita.

Qualquer que seja o ponto de entrada no túnel do meio, a formiguinha pode ir para a esquerda ou para a direita sem voltar, e consegue usar exatamente 3 descidas. Veja:

• Da ponta esquerda: ela desce ali mesmo, ou segue para a direita e usa uma das duas outras descidas.
• Do ponto ao lado da perna do T: ela vai para a esquerda e usa uma das duas descidas à esquerda, ou vai para a direita e usa a descida da direita.
• A ponta direita e a descida da direita do T seguem o mesmo raciocínio.

São 3 opções em todos os casos.

Total

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BDobra o resultado, contando também trajetos que repetem trechos horizontais ou sobem.
• CConta só 4 caminhos até o túnel do meio, ou só 2 saídas de cada entrada, e subestima o total.
• DSuperconta as saídas do túnel do meio (por exemplo, 4 em vez de 3) e não respeita a regra de não repetir trechos.
• EEsquece de combinar as escolhas em cada nível, ou seja, não multiplica as opções do túnel do meio pelas de cima.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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