Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2024

Question

Ana, Bia e Carla visitaram a floricultura de seu bairro. O vendedor separou as 5 flores mostradas na figura e disse que iria presentear cada uma com uma dessas flores.

Cinco flores alinhadas: uma flor amarela com 3 pétalas pontiagudas, uma flor amarela com 4 pétalas arredondadas, uma flor roxa com 3 pétalas pontiagudas, uma flor amarela com 5 pétalas arredondadas e uma flor roxa com 6 pétalas arredondadas. Todas possuem o miolo circular preto.

Carla escutou a seguinte conversa entre Bia e Ana:

— Bia disse: “Oi Ana, eu e Carla sabemos a cor de cada uma das flores que vamos ganhar, mas nem eu nem ela sabemos as quantidades de pétalas das flores que cada uma de nós irá ganhar”.

— Ana disse: “Eu sei a quantidade de pétalas da flor que vou ganhar, mas não sei a cor”.

A partir dessa conversa, Carla descobriu a flor que Ana vai ganhar. Qual é essa flor?

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2024

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Ana, Bia e Carla visitaram a floricultura de seu bairro. O vendedor separou as 5 flores mostradas na figura e disse que iria presentear cada uma com uma dessas flores.

Cinco flores alinhadas: uma flor amarela com 3 pétalas pontiagudas, uma flor amarela com 4 pétalas arredondadas, uma flor roxa com 3 pétalas pontiagudas, uma flor amarela com 5 pétalas arredondadas e uma flor roxa com 6 pétalas arredondadas. Todas possuem o miolo circular preto.

Carla escutou a seguinte conversa entre Bia e Ana:

— Bia disse: “Oi Ana, eu e Carla sabemos a cor de cada uma das flores que vamos ganhar, mas nem eu nem ela sabemos as quantidades de pétalas das flores que cada uma de nós irá ganhar”.

— Ana disse: “Eu sei a quantidade de pétalas da flor que vou ganhar, mas não sei a cor”.

A partir dessa conversa, Carla descobriu a flor que Ana vai ganhar. Qual é essa flor?

A
B
C
D
E

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Temos cinco flores, que podem ter três, quatro, cinco ou seis pétalas, que podem ser da cor laranja (as quais chamaremos de flores laranjas) ou roxo (as quais chamaremos de flores roxas).

[Figura: cinco flores enfileiradas com centro preto; da esquerda para a direita: flor cinza-clara de três pétalas, flor cinza-clara de quatro pétalas, flor cinza-escura de três pétalas, flor cinza-clara de cinco pétalas e flor cinza-escura de seis pétalas]

Bia diz que ela e Carla sabem as cores das flores que ganharão, mas não sabem quantas pétalas elas têm. Em princípio as duas flores podem ser: duas flores laranjas, duas flores roxas, uma flor laranja e uma flor roxa.

Ana responde que sabe quantas pétalas tem sua flor, mas não sabe a cor. Isso indica que a flor de Ana tem três pétalas, pois se tivesse quatro, cinco ou seis pétalas ela saberia exatamente que flor iria ganhar.

A partir dessa conversa Carla descobre que flor vai ganhar. Note que se as cores das flores de Bia e Carla fossem laranjas seria impossível determinar qual flor Ana iria ganhar. Por exemplo, elas poderiam ter recebido as flores de quatro e cinco pétalas. O mesmo acontece se as flores fossem uma laranja e uma roxa. Por exemplo, elas poderiam ter recebido uma flor de cinco pétalas (laranja) e uma de seis pétalas (roxa). Como Carla foi capaz de deduzir a cor da flor que Ana irá ganhar, concluímos que Bia e Carla irão ganhar duas flores roxas, o que inclui uma flor de três pétalas, necessariamente. A conclusão é que Ana ganhará uma flor laranja de três pétalas.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

As flores são: amarela com 3 pétalas (A3), amarela com 4 (A4), roxa com 3 (R3), amarela com 5 (A5) e roxa com 6 (R6).

Primeiro, a fala de Bia: ela e Carla sabem a cor da flor que vão ganhar, mas não sabem a quantidade de pétalas. Isso só é possível se a cor não permitir identificar a flor, ou seja, se a cor de cada uma corresponde a mais de uma flor. Há 3 amarelas e 2 roxas. Se alguém soubesse que ganharia roxa, ainda teria 2 opções (3 ou 6 pétalas), e se fosse amarela, 3 opções. Logo, isso não elimina nada sozinho. Mas Bia e Carla sabem a cor e não sabem as pétalas, então nenhuma delas ganha uma flor cuja cor determine a quantidade. Isso vale para qualquer cor aqui, então a informação útil vem de Ana.

Agora a fala de Ana: ela sabe a quantidade de pétalas, mas não a cor. Saber a quantidade de pétalas identifica a flor, a não ser que a quantidade se repita. Só o número 3 se repete (A3 e R3). Se Ana soubesse 4, 5 ou 6 pétalas, saberia também a cor. Como ela não sabe a cor, a flor dela tem 3 pétalas: A3 ou R3.

Agora o raciocínio de Carla: ela sabe a cor da sua própria flor. Se Carla ganhasse a roxa de 6 pétalas ou a amarela de 4 ou 5, ela saberia a quantidade de pétalas? Para a fala de Bia ser verdadeira, Carla não pode saber as pétalas. Se Carla tem roxa, as roxas restantes poderiam ser R3 e R6; se Ana ficou com R3, sobra R6 para quem tem roxa, e a pessoa saberia 6 pétalas. Isso contradiz Bia, pois ela diz que nem ela nem Carla sabem as pétalas. Logo, Ana não pode ter ficado com a roxa de 3 pétalas, e a flor de Ana é a amarela de 3 pétalas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BCom 4 pétalas Ana saberia a cor (só há uma flor com 4 pétalas), contrariando a fala dela.
CSe Ana tivesse a roxa de 3 pétalas, a outra roxa seria a de 6 e quem tem roxa saberia as pétalas, contrariando Bia.
DCom 5 pétalas Ana saberia que a flor é amarela.
ECom 6 pétalas Ana saberia que a flor é roxa.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova

Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 2. Prova oficial ↗

Numeração da versão 1. Nas outras versões: versão 2, questão 18versão 3, questão 16versão 4, questão 17versão 5, questão 18