Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2024

Question

As figuras mostram as vistas de frente, de cima e da esquerda de um sólido montado com cubos iguais. Quantos cubos tem esse sólido?

Vista de frente: grade 3x3 com colunas de alturas 3, 3 e 2 quadrados verdes, com a legenda "Frente" Vista de cima: figura em formato de H deitado ou I maiúsculo formada por 7 quadrados verdes distribuídos em 3 linhas (3 quadrados na primeira, 1 central na segunda e 3 na terceira), com a legenda "Cima" Vista da esquerda: colunas em escada com alturas 3, 2 e 1 quadrados verdes, com a legenda "Esquerda"

A
16
B
14
C
13
D
15
E
12

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

As figuras mostram as vistas de frente, de cima e da esquerda de um sólido montado com cubos iguais. Quantos cubos tem esse sólido?

Vista de frente: grade 3x3 com colunas de alturas 3, 3 e 2 quadrados verdes, com a legenda "Frente" Vista de cima: figura em formato de H deitado ou I maiúsculo formada por 7 quadrados verdes distribuídos em 3 linhas (3 quadrados na primeira, 1 central na segunda e 3 na terceira), com a legenda "Cima" Vista da esquerda: colunas em escada com alturas 3, 2 e 1 quadrados verdes, com a legenda "Esquerda"

A
16
B
14
C
13
D
15
E
12

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Iremos reconstruir o sólido a partir das vistas. Para isso, vamos imaginar que o sólido está montado sobre um tabuleiro e registraremos quantos cubinhos estamos empilhando em cada quadrado dele, como indicam as figuras abaixo.

[Figura: representação isométrica de uma caixa cúbica com setas indicando as direções "CIMA", "ESQUERDA" e "FRENTE", e a base dividida em 9 casas com as posições indicadas pelas letras de A a I]

A	B	C
D	E	F
G	H	I

Pela vista de cima [Figura: vista superior com 7 quadradinhos cinza em uma grade 3 \times 3, ocupando as três posições da linha superior, a posição central da linha do meio e as três posições da linha inferior] , podemos inferir que ele tem a distribuição:

A	B	C
0	E	0
G	H	I

pois não há cubos nas posições D e F.

Pela vista da esquerda [Figura: vista lateral esquerda com quadradinhos cinza dispostos em colunas de alturas 3, 2 e 1, da esquerda para a direita] , apenas a primeira linha pode ter 3 cubinhos empilhados, mas não sabemos ainda se estão em A, em B ou em C.

Isso é decidido olhando a vista da frente [Figura: vista frontal com quadradinhos cinza dispostos em colunas de alturas 3, 3 e 2, da esquerda para a direita] . Concluímos que temos A = B = 3.

Pela vista de cima, para todos os quadradinhos da última linha, temos que ter pelo menos 1 cubinho em cada posição e, pela vista da esquerda, não podemos ter mais que 1. Portanto, G = H = I = 1. Analisando a vista da esquerda, no meio dela vemos apenas 2 cubinhos, e isso só pode ocorrer se E = 2. Finalmente, pela vista de frente, como I = 1, devemos ter C = 2. Logo,a distribuição completa é

3	3	2
0	2	0
1	1	1

[Figura: perspectiva isométrica do sólido tridimensional construído com os cubinhos empilhados]

Assim, o total de cubinhos é 3 + 3 + 2 + 0 + 2 + 0 + 1 + 1 + 1 = 13.

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Publicada pela banca.

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, D; versão 3, E; versão 4, A; versão 5, B.

Resolução comentada

A vista de cima mostra quais posições do chão têm cubos (7 posições). As vistas de frente e da esquerda dão a altura máxima de cada coluna.

Monte uma grade 3×3 com colunas x = 1, 2, 3 (da esquerda para a direita) e linhas y = 1 (frente), 2 (meio), 3 (fundo).

Vista de cima: ocupadas as posições (1,1),(2,1),(3,1) na frente, (2,2) no meio e (1,3),(2,3),(3,3) no fundo.

Vista de frente: alturas máximas por coluna x: x=1\to 3, x=2\to 3, x=3\to 2.

Vista da esquerda: alturas máximas por linha: a frente (mais próxima de quem olha pela frente) fica à direita na vista da esquerda. A vista da esquerda mostra, da esquerda para a direita, as alturas 3, 2, 1, que correspondem ao fundo, ao meio e à frente. Logo: fundo =3, meio =2, frente =1.

Agora, cada posição ocupada recebe a altura máxima permitida pelas duas vistas, ou seja, o mínimo entre a altura da coluna e a da linha:

Frente: (1,1)=\min(3,1)=1; (2,1)=1; (3,1)=1. Total 3.
Meio: (2,2)=\min(3,2)=2. Total 2.
Fundo: (1,3)=\min(3,3)=3; (2,3)=3; (3,3)=\min(2,3)=2. Total 8.

Soma: 3+2+8=13.

Conferindo: as alturas máximas de cada vista são atingidas (colunas 3, 3, 2 e linhas 3, 2, 1), então a configuração é válida e é a única possível.

Alternativa C.

Pegadinha: Inverter a vista da esquerda (tomar a frente como altura 3 e o fundo como 1) muda a soma e leva a outro resultado.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe alturas maiores do que as permitidas pelas vistas, por exemplo contando 3 cubos em posições limitadas a 1 ou 2.
BErra a correspondência entre a vista da esquerda e as linhas (frente/fundo), alterando as alturas.
DSoma cubos a mais, ignorando o limite imposto pela vista da esquerda.
ESubestima as alturas, deixando de usar a altura máxima permitida em algumas posições.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 3. Prova oficial ↗

Numeração da versão 1. Nas outras versões: versão 2, questão 16versão 3, questão 17versão 4, questão 18versão 5, questão 19