Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, E; versão 3, A; versão 4, B; versão 5, C.

Resolução comentada

A média dos k maiores números é 54-2k (para k=2 dá 50, para k=3 dá 48, e assim por diante). Logo, a soma dos k maiores é S_k = k(54-2k).

O k-ésimo maior número, a partir do terceiro, é a diferença entre duas somas consecutivas:

1. a_k = S_k - S_{k-1} = k(54-2k) - (k-1)(56-2k)
2. a_k = 54k-2k^2 - (58k-2k^2-56) = 56-4k

Assim, a_3=44,\ a_4=40,\ a_5=36,\dots, diminuindo de 4 em 4.

Os dois maiores somam 2\cdot 50=100, e como o conjunto não repete elementos, a_1>a_2>44. Isso é possível, por exemplo com 55 e 45.

Os números continuam diminuindo enquanto forem positivos: 56-4k>0 \Rightarrow k\le 13. Então a_{13}=56-52=4. O termo seguinte seria a_{14}=0, que não é inteiro positivo, então o conjunto termina em 4.

O menor número que pode pertencer ao conjunto é 4.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AExigiria continuar a sequência além de 4, mas 2 não aparece na progressão 44, 40, ..., 4, 0.
• BO valor 1 não pertence à sequência 56-4k, que só dá múltiplos de 4.
• CO valor 5 não pertence à sequência 56-4k, e o menor termo positivo é 4.
• EO valor 3 não pertence à sequência 56-4k, que só dá múltiplos de 4.

Assunto: Média aritmética e ponderada.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.