Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2023

Question

Uma formiga, inicialmente no vértice A, anda sobre as linhas do quadriculado da figura, sempre para a direita ou para cima, até chegar ao vértice B. De quantas maneiras ela pode fazer isso passando por algum dos quatro pontos destacados?

Malha quadriculada de 6 por 6 quadrados. O vértice inferior esquerdo está identificado como A e o vértice superior direito como B. Considerando A como a origem (0, 0), há quatro pontos destacados com círculos pretos nos vértices de coordenadas (0, 6), (1, 5), (5, 1) e (6, 0).

A
4
B
32
C
36
D
64
E
74

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma formiga, inicialmente no vértice A, anda sobre as linhas do quadriculado da figura, sempre para a direita ou para cima, até chegar ao vértice B. De quantas maneiras ela pode fazer isso passando por algum dos quatro pontos destacados?

Malha quadriculada de 6 por 6 quadrados. O vértice inferior esquerdo está identificado como A e o vértice superior direito como B. Considerando A como a origem (0, 0), há quatro pontos destacados com círculos pretos nos vértices de coordenadas (0, 6), (1, 5), (5, 1) e (6, 0).

A
4
B
32
C
36
D
64
E
74

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos nomear os quatro pontos indicados no enunciado de P, Q, R e S, conforme a figura.

[Figura: Grade quadriculada de 6 \times 6 quadrados com os vértices inferior esquerdo marcado como A e superior direito marcado como B. O ponto P está no vértice superior esquerdo, S está na interseção uma unidade abaixo e à direita de P, R está na interseção uma unidade acima e à esquerda de Q, e Q está no vértice inferior direito.]

Observe que só há um único caminho que vai de A até B passando por P. O mesmo ocorre com o ponto Q. Assim, até agora contamos dois caminhos.

Para ir de A até R há 6 caminhos: cada um desses seis caminhos é determinado pela escolha da coluna na qual a formiga realiza um movimento para cima. De R para B há seis caminhos. Portanto, há 6 \times 6 = 36 caminhos que saem de A até B passando por R.

O mesmo ocorre para o ponto S; ou seja, há 36 caminhos saindo de A até B passando por S.

Portanto, o total de caminhos é igual a 36 + 36 + 1 + 1 = 74.

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Resolução comentada

Os quatro pontos ficam em (0,6), (1,5), (5,1) e (6,0). Todos estão sobre a anti-diagonal x+y=6, e cada caminho de A até B passa por exatamente um ponto dessa diagonal. Então basta somar os caminhos que passam por cada ponto destacado, sem risco de contar um caminho duas vezes.

O número de caminhos de (0,0) até (a,b), só para a direita e para cima, é \binom{a+b}{a}. De (a,b) até (6,6) é \binom{12-a-b}{6-a}.

Ponto (0,6): de A até ele, 1 caminho. Dele até B, 1 caminho. Total: 1\cdot 1=1.
Ponto (1,5): de A até ele, \binom{6}{1}=6. Dele até B faltam 5 passos à direita e 1 para cima, ou seja, 6 caminhos. Total: 6\cdot 6=36.
Ponto (5,1): por simetria, também 6\cdot 6=36.
Ponto (6,0): 1\cdot 1=1.

Soma: 1+36+36+1=74.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só um caminho por ponto (4 pontos), ignorando as várias rotas até os pontos (1,5) e (5,1).
BValor sem base na contagem; não corresponde à soma dos produtos de caminhos.
CConsidera só os dois pontos internos (36) ou um deles, esquecendo os cantos e o outro ponto.
DValor sem base na contagem; os caminhos por pontos distintos são disjuntos e somam 74.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 20 no caderno Nível 1 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗