Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Tome A como (0,0) e B como (6,6). Os pontos destacados são (0,6), (1,5), (5,1) e (6,0). Cada caminho passa por no máximo um deles, porque os pontos estão na mesma "anti-diagonal" x+y=6 e a formiga só anda para a direita ou para cima, de modo que x+y aumenta 1 a cada passo. Assim, basta somar os caminhos que passam por cada ponto, sem repetição.

O número de caminhos de (0,0) até (a,b) é \binom{a+b}{a}. Para o ponto (a,b) na diagonal, o trecho até B tem 6-a passos à direita e 6-b para cima.

1. Por (0,6): de A são \binom{6}{0}=1 caminho; de lá até B são \binom{6}{6}=1. Total: 1\cdot 1=1.
2. Por (1,5): de A são \binom{6}{1}=6; de (1,5) até B (5 à direita, 1 para cima) são \binom{6}{1}=6. Total: 6\cdot 6=36.
3. Por (5,1): por simetria, 6\cdot 6=36.
4. Por (6,0): 1\cdot 1=1.

Soma: 1+36+36+1=74.

Como nenhum caminho passa por dois pontos, não há contagem dupla.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aconta apenas 1 caminho por ponto, esquecendo as combinações de A até o ponto e dele até B.
• Bé o total de caminhos que passam por (1,5) e (5,1) apenas, ou outra conta parcial, e não 74; valor sem base na soma correta.
• Cconta só os caminhos por um dos pontos internos (36), ignorando os demais.
• Dparece 2^6, ignorando a estrutura de caminhos por pontos específicos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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