Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2023

Question

As idades de três crianças são 7, 8 e 9 anos. Na figura, vemos a resposta de cada uma delas, quando perguntadas sobre suas idades. A criança com 8 anos foi a única que mentiu.

Três crianças com balões de fala. A criança de cabelo preto curto e presilha rosa diz "Não é 7". A criança de cabelo castanho preso em dois coques diz "Não é 8". A criança de cabelo loiro curto diz "Não é 9".

A criança mais velha e a criança mais nova são, nessa ordem,

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

As idades de três crianças são 7, 8 e 9 anos. Na figura, vemos a resposta de cada uma delas, quando perguntadas sobre suas idades. A criança com 8 anos foi a única que mentiu.

Três crianças com balões de fala. A criança de cabelo preto curto e presilha rosa diz "Não é 7". A criança de cabelo castanho preso em dois coques diz "Não é 8". A criança de cabelo loiro curto diz "Não é 9".

A criança mais velha e a criança mais nova são, nessa ordem,

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Como a única criança que mentiu é a que tem 8 anos, a criança que diz que não tem 8 anos está mentindo, pois qualquer uma das outras duas que disser que não tem 8 anos está dizendo a verdade. Como as outras duas estão falando a verdade, a que diz que não tem 9 anos tem 7 anos e a que diz que não tem 7 anos tem 9 anos. Assim, a mais velha é a que diz que não tem 7 anos e a mais nova é a que diz que não tem 9 anos.

Outra solução: Analisemos a criança que diz “Não é 8”. Há só duas possibilidades: ou ela mente ou fala a verdade.

Se ela diz a verdade, sua idade só pode ser 7 ou 9 anos.

Se for 7, alguém deve ter 8 anos. Suponha que seja a criança de cabelo preto. Nesse caso a de cabelo preto estaria dizendo a verdade, mas sua idade é 8 anos, uma contradição, pois quem tem 8 anos mente. Analogamente, se a criança de 8 anos for a de cabelo loiro, ela estaria dizendo a verdade, novamente uma contradição.

Do mesmo modo, se a idade de quem diz “Não é 8” for 9 anos, uma das outras duas crianças teria 8 anos e estaria falando a verdade, contradição.

Se ela mente, então tem 8 anos. Como só há uma pessoa mentirosa, as outras duas falam a verdade; a de cabelo preto tem 9 anos e a de cabelo loiro tem 7.

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Resolução comentada

Chamemos as crianças de P (cabelo preto, presilha rosa), C (castanho, dois coques) e L (loiro).

As falas são: P diz "Não é 7", C diz "Não é 8" e L diz "Não é 9". Só quem tem 8 anos mentiu, então as outras duas disseram a verdade.

Uma pessoa que mente diz algo falso. Dizer "Não é 8" só é falso se a idade for 8. Logo, a criança de 8 anos é a que disse "Não é 8", ou seja, C tem 8 anos.

Agora usamos que P e L falaram a verdade:

P diz "Não é 7": sua idade não é 7. Sobram 9 (pois 8 é de C), então P tem 9 anos.
L diz "Não é 9": sua idade não é 9. Sobra 7, então L tem 7 anos.

Conferindo: P (9) disse "Não é 7", verdade. L (7) disse "Não é 9", verdade. C (8) disse "Não é 8", mentira. Tudo coerente.

A mais velha é P (9 anos) e a mais nova é L (7 anos). A alternativa com a criança de cabelo preto e presilha rosa e depois a de cabelo loiro é a B.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AColoca a de coques (8 anos) como mais velha, mas ela tem a idade intermediária.
CInverte a ordem: loiro (7) como mais velho e coques (8) como mais novo, o que não confere.
DCoques (8) como mais velha e preto (9) como mais nova; a ordem e a escolha estão erradas.
EInverte-se o papel: a de presilha (9) é a mais velha, mas a mais nova é a loira (7), não a de coques (8).

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 19 no caderno Nível 1 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗