Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Coloque A na origem (0,0) e B em (6,6). Os pontos destacados são (0,6), (1,5), (5,1) e (6,0), todos com soma das coordenadas igual a 6, ou seja, ficam na mesma diagonal. Cada caminho cruza essa diagonal exatamente uma vez, então nenhum caminho passa por dois pontos destacados e podemos somar os casos sem contar duas vezes.

Para ir de A até um ponto (a, b), com passos para a direita e para cima, o número de caminhos é \binom{a+b}{a}. Para ir desse ponto até B (6,6), é \binom{12-a-b}{6-a}.

1. Ponto (0,6): \binom{6}{0}=1 caminho até ele. De (0,6) a B são 6 passos para a direita: 1 caminho. Total: 1\cdot 1=1.
2. Ponto (1,5): \binom{6}{1}=6 caminhos até ele. De (1,5) a B são 5 para a direita e 1 para cima: \binom{6}{1}=6. Total: 6\cdot 6=36.
3. Ponto (5,1): por simetria, 36.
4. Ponto (6,0): por simetria com o primeiro, 1.

Soma: 1+36+36+1=74.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aconta apenas um caminho por ponto destacado, esquecendo a multiplicação dos trechos antes e depois.
• Bnão tem justificativa combinatória; ignora que os pontos (1,5) e (5,1) têm 36 caminhos cada.
• Cconta só os caminhos por um dos pontos (1,5) ou (5,1), esquecendo os demais.
• Dé o total de caminhos em outra contagem (ex.: 2^6), não os caminhos pelos pontos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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