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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Qual é o maior número de alfinetes que podem ser retirados do painel preso em uma parede, de modo que nenhum pedaço de papel caia no chão?

Painel verde com moldura de madeira contendo 6 pedaços quadrados de papel colorido presos por 10 alfinetes vermelhos no total. Alguns alfinetes prendem as bordas sobrepostas de dois papéis ao mesmo tempo: um papel amarelo no canto superior esquerdo tem 2 alfinetes no topo e compartilha 1 alfinete na base com o topo de um papel salmão; um papel lilás no canto inferior esquerdo tem 1 alfinete no topo (e está parcialmente sob o papel salmão, mas sem alfinete na interseção); o papel salmão no centro tem 2 alfinetes no topo (um compartilhado com o papel amarelo e outro compartilhado com a base esquerda de um papel azul); o papel azul no centro-superior tem 1 alfinete no topo esquerdo, 1 compartilhado na base esquerda com o salmão, e 1 compartilhado na base direita com o topo esquerdo de um papel rosa; um papel verde-claro no canto superior direito tem 2 alfinetes no topo (estando parcialmente sob o papel azul, sem alfinete na interseção); e o papel rosa no canto inferior direito tem 2 alfinetes no topo (um compartilhado com o papel azul e outro próprio na direita).

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    6
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Para que nenhum papel caia, cada papel precisa continuar preso por pelo menos um alfinete. Então o maior número de alfinetes retirados é 10 menos o menor número de alfinetes que precisam ficar.

Chamando os papéis de Am (amarelo), Sa (salmão), Li (lilás), Az (azul), Ve (verde-claro) e Ro (rosa), vejo na figura quais papéis cada alfinete prende:

  1. Dois alfinetes prendem só o Ve (os dois do canto superior direito).
  2. Um alfinete prende só o Li.
  3. Um alfinete prende só o Ro (o da direita).
  4. Um alfinete prende só o Az (o do topo esquerdo).
  5. Um alfinete prende Am e Sa ao mesmo tempo.
  6. Um alfinete prende Sa e Az ao mesmo tempo.
  7. Um alfinete prende Az e Ro ao mesmo tempo.
  8. Um alfinete prende só o Am (o do topo, à esquerda).

O Li tem um único alfinete, então esse precisa ficar. O Ve tem dois, e basta deixar um deles.

Restam Am, Sa, Az e Ro. O alfinete que prende Am e Sa cobre os dois. O alfinete que prende Az e Ro também cobre os dois. Logo, com 2 alfinetes eu seguro esses quatro papéis.

Mínimo a manter: 1 + 1 + 2 = 4 alfinetes. Não dá para manter menos, porque Li, Ve e o grupo Am–Sa–Az–Ro (que exige 2, pois nenhum alfinete prende três deles) precisam de alfinetes diferentes.

Portanto, o máximo que pode ser retirado é 10 - 4 = 6.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C (4) engana porque é o número mínimo de alfinetes que ficam, não o de retirados.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima muito: ignora que os alfinetes compartilhados permitem tirar vários e manter só 4.
  • BParece contar só alfinetes 'sobrando' em papéis com dois, sem aproveitar os alfinetes compartilhados.
  • CConfunde com o número de alfinetes que precisam ficar (4), em vez do número retirado.
  • DMantém 5 alfinetes, sem perceber que dois alfinetes compartilhados já seguram quatro papéis.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 1 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗