Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2023

Question

As idades de três crianças são 7, 8 e 9 anos. Na figura, vemos a resposta de cada uma delas, quando perguntadas sobre suas idades. A criança com 8 anos foi a única que mentiu.

Ilustração com os rostos de três crianças e balões de fala. Acima, uma criança de cabelo preto curto com uma presilha rosa diz "Não é 7". Abaixo à esquerda, uma criança de cabelo loiro curto diz "Não é 9". Abaixo à direita, uma criança de cabelo castanho preso em dois coques diz "Não é 8".

A criança mais velha e a criança mais nova são, nessa ordem,

A
e
B
e
C
e
D
e
E
e

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

As idades de três crianças são 7, 8 e 9 anos. Na figura, vemos a resposta de cada uma delas, quando perguntadas sobre suas idades. A criança com 8 anos foi a única que mentiu.

Ilustração com os rostos de três crianças e balões de fala. Acima, uma criança de cabelo preto curto com uma presilha rosa diz "Não é 7". Abaixo à esquerda, uma criança de cabelo loiro curto diz "Não é 9". Abaixo à direita, uma criança de cabelo castanho preso em dois coques diz "Não é 8".

A criança mais velha e a criança mais nova são, nessa ordem,

A
e
B
e
C
e
D
e
E
e

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Como a única criança que mentiu é a que tem 8 anos, a criança que diz que não tem 8 anos está mentindo, pois qualquer uma das outras duas que disser que não tem 8 anos está dizendo a verdade. Como as outras duas estão falando a verdade, a que diz que não tem 9 anos tem 7 anos e a que diz que não tem 7 anos tem 9 anos. Assim, a mais velha é a que diz que não tem 7 anos e a mais nova é a que diz que não tem 9 anos.

Outra solução: Analisemos a criança que diz “Não é 8”. Há só duas possibilidades: ou ela mente ou fala a verdade.

Se ela diz a verdade, sua idade só pode ser 7 ou 9 anos.

Se for 7, alguém deve ter 8 anos. Suponha que seja a criança de cabelo preto. Nesse caso a de cabelo preto estaria dizendo a verdade, mas sua idade é 8 anos, uma contradição, pois quem tem 8 anos mente. Analogamente, se a criança de 8 anos for a de cabelo loiro, ela estaria dizendo a verdade, novamente uma contradição.

Do mesmo modo, se a idade de quem diz “Não é 8” for 9 anos, uma das outras duas crianças teria 8 anos e estaria falando a verdade, contradição.

Se ela mente, então tem 8 anos. Como só há uma pessoa mentirosa, as outras duas falam a verdade; a de cabelo preto tem 9 anos e a de cabelo loiro tem 7.

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Resolução comentada

Chamemos as crianças de P (cabelo preto, presilha rosa), L (loiro) e C (castanho, dois coques). As falas são: P diz "Não é 7", L diz "Não é 9" e C diz "Não é 8".

Só quem tem 8 anos mentiu, e as outras duas dizem a verdade. Quem mente diz o contrário do que é verdade, ou seja, a idade dela é justamente a que ela negou.

Se P tivesse 8 anos, ela mentiu, então a idade dela seria 7. Isso é impossível, pois 7 ≠ 8.
Se L tivesse 8 anos, ela mentiu, então a idade dela seria 9. Isso também é impossível.
Se C tem 8 anos, ela mentiu, e de fato a idade dela é 8, o que é coerente.

Logo, C tem 8 anos.

Agora P e L falam a verdade. P não tem 7, então P tem 9 (sobrou 7 ou 9, pois o 8 é de C). L não tem 9, então L tem 7. Isso é consistente: P = 9, C = 8, L = 7.

A mais velha é P (9 anos), a de cabelo preto com presilha rosa. A mais nova é L (7 anos), a de cabelo loiro.

O par "mais velha e mais nova" é, portanto, P e L.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AColoca a de coques (8 anos) como a mais velha e a loira como a mais nova; a de 8 anos é a do meio.
CInverte a ordem: a loira tem 7 anos, é a mais nova, e não a mais velha.
DA de coques tem 8 anos, não é a mais velha, e a de cabelo preto tem 9, não é a mais nova.
EA mais velha está certa, mas a de coques tem 8 anos, não 7, então não é a mais nova.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 13 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗