Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2023

Question

Elisa cortou 4 quadrados iguais dos cantos de um cartão retangular para montar uma caixa sem tampa. As faces laterais da caixa têm áreas 24\ \text{cm}^2 ou 28\ \text{cm}^2, conforme a figura. O volume da caixa é 168\ \text{cm}^3. Qual era a área do cartão antes de ser cortado?

Figura mostrando à esquerda um cartão retangular com quatro quadrados tracejados nos cantos e quatro abas retangulares laterais em torno de uma base retangular central delimitada por linhas tracejadas; a aba superior tem área indicada de 28 cm² e a aba esquerda tem área indicada de 24 cm². Uma seta aponta para a direita, onde está representada a caixa retangular sem tampa já montada.

A
42\ \text{cm}^2
B
110\ \text{cm}^2
C
200\ \text{cm}^2
D
210\ \text{cm}^2
E
672\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Elisa cortou 4 quadrados iguais dos cantos de um cartão retangular para montar uma caixa sem tampa. As faces laterais da caixa têm áreas 24\ \text{cm}^2 ou 28\ \text{cm}^2, conforme a figura. O volume da caixa é 168\ \text{cm}^3. Qual era a área do cartão antes de ser cortado?

Figura mostrando à esquerda um cartão retangular com quatro quadrados tracejados nos cantos e quatro abas retangulares laterais em torno de uma base retangular central delimitada por linhas tracejadas; a aba superior tem área indicada de 28 cm² e a aba esquerda tem área indicada de 24 cm². Uma seta aponta para a direita, onde está representada a caixa retangular sem tampa já montada.

A
42\ \text{cm}^2
B
110\ \text{cm}^2
C
200\ \text{cm}^2
D
210\ \text{cm}^2
E
672\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Sejam a, b e c as dimensões da caixa. Como o volume é 168, abc = 168. Além disso, o enunciado nos fornece ab = 28 e ca = 24. O que queremos calcular é a área do cartão antes dos cortes, ou seja, A = (a+b+a).(a+c+a) = (b+2a).(c+2a).

abc = 168 \rightarrow 28c = 168, logo, c = 6. Como ca = 24, a = 4, e como abc = 168, 4.b.6 = 168, logo, b = 7.

Portanto, A = (7 + 2.4).(6 + 2.4) = 15.14 = 210\text{ cm}^2.

[Figura: Esquema de uma folha retangular delimitada por linhas tracejadas, da qual são retirados quatro quadrados de lado a dos cantos, restando uma área cinza em formato de cruz correspondente à planificação da caixa aberta. A base retangular central tem dimensões indicadas por b e c, e as abas dobráveis têm largura a.]

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Resolução comentada

Chame de a e b as dimensões da base da caixa e de h a altura, que é também o lado de cada quadrado cortado.

Pela figura, a aba de cima (e a de baixo) tem a largura da base, a, e altura h. A aba da esquerda (e a da direita) tem a outra dimensão da base, b, e altura h. Assim:

a\cdot h = 28
b\cdot h = 24
a\cdot b\cdot h = 168

Dividindo a equação 3 pela 1: b = 168/28 = 6.

Dividindo a equação 3 pela 2: a = 168/24 = 7.

Da equação 1: h = 28/7 = 4. Confere com a 2: 6\cdot 4 = 24. ✓

O cartão original é um retângulo de lados a+2h e b+2h:

a + 2h = 7 + 8 = 15 cm
b + 2h = 6 + 8 = 14 cm

Área do cartão: 15 \cdot 14 = 210\ \text{cm}^2.

Outro caminho: área da base 42, mais 2 abas de 28 e 2 de 24, que somam 104, mais 4 quadrados de 16, que somam 64. Total: 42+104+64=210. ✓

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ apenas a área da base (7\cdot 6), sem as abas e os cantos.
BSoma base e abas ($42+52\cdot... $) esquecendo os 4 quadrados dos cantos, que valem 64\ \text{cm}^2 (42+104=146 não dá 110; é valor sem sentido).
CResultado de conta incorreta das dimensões do cartão, que não corresponde a 15\cdot 14.
EMultiplica o volume por 4 (168\cdot 4), misturando grandezas que não se relacionam assim.

Assunto: Prismas e paralelepípedos.

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Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗