Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2023

Question

As idades de três crianças são 7, 8 e 9 anos. Na figura, vemos a resposta de cada uma delas, quando perguntadas sobre suas idades. A criança com 8 anos foi a única que mentiu.

Ilustração do rosto de três crianças com balões de fala: no topo, uma criança de cabelo preto liso e presilha rosa dizendo "Não é 7"; abaixo à esquerda, uma criança de cabelo loiro curto dizendo "Não é 9"; e abaixo à direita, uma criança de cabelo castanho preso em dois coques dizendo "Não é 8".

A criança mais velha e a criança mais nova são, nessa ordem,

A
e
B
e
C
e
D
e
E
e

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

As idades de três crianças são 7, 8 e 9 anos. Na figura, vemos a resposta de cada uma delas, quando perguntadas sobre suas idades. A criança com 8 anos foi a única que mentiu.

Ilustração do rosto de três crianças com balões de fala: no topo, uma criança de cabelo preto liso e presilha rosa dizendo "Não é 7"; abaixo à esquerda, uma criança de cabelo loiro curto dizendo "Não é 9"; e abaixo à direita, uma criança de cabelo castanho preso em dois coques dizendo "Não é 8".

A criança mais velha e a criança mais nova são, nessa ordem,

A
e
B
e
C
e
D
e
E
e

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como a única criança que mentiu é a que tem 8 anos, a criança que diz que não tem 8 anos está mentindo, pois qualquer uma das outras duas que disser que não tem 8 anos está dizendo a verdade. Como as outras duas estão falando a verdade, a que diz que não tem 9 anos tem 7 anos e a que diz que não tem 7 anos tem 9 anos. Assim, a mais velha é a que diz que não tem 7 anos e a mais nova é a que diz que não tem 9 anos.

Outra solução: Analisemos a criança que diz “Não é 8”. Há só duas possibilidades: ou ela mente ou fala a verdade.

Se ela diz a verdade, sua idade só pode ser 7 ou 9 anos.

Se for 7, alguém deve ter 8 anos. Suponha que seja a criança de cabelo preto. Nesse caso a de cabelo preto estaria dizendo a verdade, mas sua idade é 8 anos, uma contradição, pois quem tem 8 anos mente. Analogamente, se a criança de 8 anos for a de cabelo loiro, ela estaria dizendo a verdade, novamente uma contradição.

Do mesmo modo, se a idade de quem diz “Não é 8” for 9 anos, uma das outras duas crianças teria 8 anos e estaria falando a verdade, contradição.

Se ela mente, então tem 8 anos. Como só há uma pessoa mentirosa, as outras duas falam a verdade; a de cabelo preto tem 9 anos e a de cabelo loiro tem 7.

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Resolução comentada

Chamemos as crianças de P (cabelo preto, diz "Não é 7"), L (loiro, diz "Não é 9") e C (castanho, diz "Não é 8").

A regra é: quem tem 8 anos mentiu, e os outros dois falaram a verdade. Quem mente diz o contrário do que é verdade, então a criança de 8 anos tem justamente a idade que ela negou.

A frase de P é "Não é 7". Se P tivesse 8 anos, ela estaria mentindo, e então P teria 7 anos. Isso é contraditório, pois P teria 8 e 7 ao mesmo tempo. Logo, P não tem 8 anos.
A frase de L é "Não é 9". Se L tivesse 8 anos, mentiria, e então teria 9 anos. Também é contraditório. Logo, L não tem 8 anos.
Sobra C, que tem 8 anos. Ela mentiu ao dizer "Não é 8", e isso combina com a idade dela.

Agora P e L falam a verdade, com idades 7 e 9:

P diz "Não é 7", então P tem 9 anos.
L diz "Não é 9", então L tem 7 anos.

Conferindo: P = 9, C = 8 e L = 7 usam as três idades, e só C mentiu.

A mais velha é P (cabelo preto, presilha rosa) e a mais nova é L (cabelo loiro).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AColoca a criança de 8 anos (cabelo castanho) como a mais velha, mas ela tem a idade intermediária.
CInverte a ordem: a criança loira é a mais nova, não a mais velha.
DPõe a de 8 anos como mais velha e a de cabelo preto como mais nova, o que está errado nos dois casos.
EAcerta a mais velha, mas aponta a criança de 8 anos como a mais nova.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 9 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗