Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2022

Resolução comentada

Cada dado ocupa um canto do cubo maior. Por isso, ficam expostas exatamente três faces de cada dado, que se encontram em um mesmo vértice. Precisamos descobrir a menor soma possível para essas três faces.

Ao dobrar a planificação, os pares de faces opostas são:

Duas faces opostas nunca se encontram em um vértice. Assim, as três faces expostas de cada dado devem conter um número de cada par de faces opostas.

Escolhendo o menor número de cada par, obtemos:

Essa soma é possível, pois as faces com os números 1, 2 e 4 se encontram em um vértice. Podemos girar cada dado para deixar essas três faces voltadas para fora do cubo maior.

Como são oito dados, a menor soma dos 24 números expostos é:

Não podemos usar 1+2+3 em cada dado: as faces 1 e 3 são opostas.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem escolhe os três menores números sem verificar que as faces 1 e 3 são opostas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO total 32 fica abaixo do mínimo de 7 por dado, que resulta em 56.
• BCorresponde a usar 1, 2 e 3 em cada dado, mas 1 e 3 são faces opostas.
• DO total 64 não é mínimo, pois é possível expor faces cuja soma é 7 em cada dado.
• EO total 72 supera o mínimo de 56, obtido expondo 1, 2 e 4 em cada dado.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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