Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

João montou oito dados idênticos a partir da planificação da figura, e com eles formou um cubo. Qual é a menor soma possível para os 24 números que aparecem nas faces do cubo?

À esquerda, a planificação de um dado composta por seis quadrados cinzas numerados: uma coluna vertical com os números 2, 1, 5 e 3 de cima para baixo, um quadrado com o número 6 à esquerda do 1 e um quadrado com o número 4 à direita do 5. À direita, um cubo maior formado por 8 dados menores dispostos em um arranjo 2 por 2 por 2.

A
32
B
48
C
56
D
64
E
72

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

João montou oito dados idênticos a partir da planificação da figura, e com eles formou um cubo. Qual é a menor soma possível para os 24 números que aparecem nas faces do cubo?

À esquerda, a planificação de um dado composta por seis quadrados cinzas numerados: uma coluna vertical com os números 2, 1, 5 e 3 de cima para baixo, um quadrado com o número 6 à esquerda do 1 e um quadrado com o número 4 à direita do 5. À direita, um cubo maior formado por 8 dados menores dispostos em um arranjo 2 por 2 por 2.

A
32
B
48
C
56
D
64
E
72

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observando a planificação, vemos que a menor soma possível para três faces vizinhas de um pequeno dado é 1 + 2 + 4 = 7 e, juntando adequadamente 8 dados na posição em que essas faces com soma mínima formem as faces do cubo grande, concluímos que a menor soma possível dos 24 números que aparecem nas faces do cubo grande é 8 \times 7 = 56.

Mais detalhadamente, ao juntar os oito dados idênticos, formamos um cubo maior, como na figura ao lado, e em cada face desse cubo maior aparecem quatro números. Portanto, nas seis faces desse cubo maior aparecem 6 \times 4 = 24 números. Por outro lado, cada vértice do cubo maior corresponde a um dos oito vértices do dado e cada vértice do dado tem três de suas faces concorrendo nesse vértice. Assim, os 24 números que aparecem nas seis faces do cubo maior são provenientes de faces comuns dos dados, faces essas que ficaram visíveis após a montagem, incluindo a que fica apoiada sobre a mesa. Logo, a menor soma possível para os números que aparecem nas faces do cubo formado é igual a oito vezes a menor soma possível para as três faces comuns de um vértice de um dado. [Figura: Cubo maior 2 \times 2 \times 2 formado pela junção de oito pequenos cubos idênticos]

Ao montar o dado a partir de sua planificação observamos que as faces opostas serão

2 e 5, 1 e 3, 6 e 4

Observamos também que as faces comuns aos vértices do dado serão:

1, 2 e 4 (soma 7) [Figura: Dado com as faces 1, 2 e 4] ou 1, 2 e 6 (soma 9) [Figura: Dado com as faces 1, 2 e 6]
2, 3 e 4 (soma 9) [Figura: Dado com as faces 2, 3 e 4] ou 2, 3 e 6 (soma 11) [Figura: Dado com as faces 2, 3 e 6]
3, 4 e 5 (soma 12) [Figura: Dado com as faces 3, 4 e 5] ou 3, 5 e 6 (soma 14) [Figura: Dado com as faces 3, 5 e 6]
1, 4 e 5 (soma 10) [Figura: Dado com as faces 1, 4 e 5] ou 1, 5 e 6 (soma 12) [Figura: Dado com as faces 1, 5 e 6]

Assim, a menor soma possível para os números que aparecem nas faces do cubo formado será

8 \times 7 = 56.

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Resolução comentada

Primeiro, descubra quais números ficam em faces opostas. Na coluna 2, 1, 5, 3, os quadrados que estão separados por um quadrado no meio ficam opostos: 2 e 5 são opostos, e 1 e 3 também. O 6 está ao lado do 1, e o 4 ao lado do 5. Dobrando, o 6 fica oposto ao 4.

Pares opostos: (2,5), (1,3), (6,4).

No cubo 2×2×2, cada dado pequeno tem 3 faces visíveis, que se encontram em um vértice, ou seja, são 3 faces mutuamente adjacentes, uma de cada par oposto. Os 8 dados são cantos, então cada um mostra 3 faces, e 8·3 = 24 números.

Para minimizar a soma em cada dado, escolhemos o menor número de cada par, mas precisamos ver se essas três faces se encontram num vértice.

Menores de cada par: 2, 1 e 4.
Essas faces são de pares diferentes, então são mutuamente adjacentes e formam um vértice.
Soma em cada dado: 2+1+4=7.
Como os dados são idênticos, mas podem ser girados, todos os 8 dados podem mostrar esse vértice, pois a orientação do vértice (sentido horário ou anti-horário) é fixa, e os dados idênticos têm todos o mesmo sentido. Assim, todos os cantos do cubo podem ser orientados com esse vértice.

Soma total: 8\cdot 7=56.

Alternativa C.

Pegadinha: Tomar 1, 2 e 3 como as menores faces (soma 6, total 48) engana, pois 1 e 3 são opostos e não aparecem juntos no mesmo vértice.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor baixo demais: 32 = 8·4 exigiria 4 por dado, impossível, pois o mínimo por vértice é 2+1+4=7.
B48 = 8·6 não corresponde a nenhum vértice possível do dado (o mínimo é 7).
D64 = 8·8 não é a menor soma, pois existe o vértice 2, 1, 4 com soma 7.
E72 = 8·9 não é a menor soma, pois existe o vértice 2, 1, 4 com soma 7.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 10 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗