Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2022

Question

Priscila escreveu um número em cada um dos círculos vazios da figura, de modo que a soma dos quatro números escritos ficou igual à soma dos três números ligados pela linha vertical e igual à soma dos três números ligados pela linha horizontal. Qual é a soma dos quatro números que Priscila escreveu?

Quatro círculos vazios dispostos nas pontas de um losango e conectados externamente por linhas tracejadas; no centro, há um círculo com o número 2020 ligado aos círculos superior e inferior por uma linha vertical contínua, e aos círculos da esquerda e da direita por uma linha horizontal pontilhada.

A
2020
B
3030
C
4040
D
5050
E
6060

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Priscila escreveu um número em cada um dos círculos vazios da figura, de modo que a soma dos quatro números escritos ficou igual à soma dos três números ligados pela linha vertical e igual à soma dos três números ligados pela linha horizontal. Qual é a soma dos quatro números que Priscila escreveu?

Quatro círculos vazios dispostos nas pontas de um losango e conectados externamente por linhas tracejadas; no centro, há um círculo com o número 2020 ligado aos círculos superior e inferior por uma linha vertical contínua, e aos círculos da esquerda e da direita por uma linha horizontal pontilhada.

A
2020
B
3030
C
4040
D
5050
E
6060

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Como a soma dos números dos 4 círculos brancos será igual à soma dos números dos círculos ligados pela linha horizontal, segue que a soma dos números dos círculos brancos ligados pela linha vertical será 2020. De modo semelhante, a soma dos números dos círculos brancos ligados pela linha horizontal será 2020. Assim, a soma total dos números escritos por Priscila nos 4 círculos é 2020 + 2020 = 4040.

Outra solução, utilizando-se rudimentos de álgebra:

a + b + c + d = a + 2020 + c, logo, b + d = 2020

a + b + c + d = b + 2020 + d, logo, a + b = 2020

Assim, a + b + c + d = 2020 + 2020 = 4040.

[Figura: Quatro círculos nos vértices de um losango com as letras a (topo), b (direita), c (base) e d (esquerda), interligados por linhas tracejadas. No centro, um círculo com o número 2020 está ligado verticalmente a a e c por linhas contínuas, e horizontalmente a d e b por linhas pontilhadas.]

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Resolução comentada

Chame os números de cima, baixo, esquerda e direita de a, b, c e d. Seja S a soma dos quatro: S = a+b+c+d.

A linha vertical liga a, 2020 e b, e a linha horizontal liga c, 2020 e d. O enunciado diz que as três somas são iguais:

a + b + 2020 = S
c + d + 2020 = S

Somando as duas equações:

(a+b+c+d) + 4040 = 2S

Como a+b+c+d = S, fica:

S + 4040 = 2S

S = 4040

Conferindo: a+b = 4040-2020 = 2020 e c+d = 2020, o que dá a+b+c+d = 4040, de acordo com o enunciado.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde a soma pedida com o valor central 2020, que é só a soma de cada par (a+b ou c+d).
BValor sem base na relação 2S = S + 4040; não satisfaz as condições.
DValor sem base nas equações; não resulta de nenhuma soma coerente com o enunciado.
EValor sem base nas equações; seria o resultado de somar 2020 três vezes sem considerar que S é a soma dos quatro.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗