Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2022

Question

João montou oito dados idênticos a partir da planificação da figura, e com eles formou um cubo. Qual é a menor soma possível para os 24 números que aparecem nas faces do cubo?

Planificação de um dado em formato de cruz, com os quadrados numerados: na coluna vertical, de cima para baixo, os números 2, 1, 5 e 3; à esquerda do 1, o número 6; à direita do 5, o número 4.

Cubo de dimensão 2 por 2 por 2 formado pela junção de oito pequenos cubos idênticos.

A
32
B
48
C
56
D
64
E
72

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

João montou oito dados idênticos a partir da planificação da figura, e com eles formou um cubo. Qual é a menor soma possível para os 24 números que aparecem nas faces do cubo?

Planificação de um dado em formato de cruz, com os quadrados numerados: na coluna vertical, de cima para baixo, os números 2, 1, 5 e 3; à esquerda do 1, o número 6; à direita do 5, o número 4.

Cubo de dimensão 2 por 2 por 2 formado pela junção de oito pequenos cubos idênticos.

A
32
B
48
C
56
D
64
E
72

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observando a planificação, vemos que a menor soma possív dado é 1 + 2 + 4 = 7 e, juntando adequadamente 8 dados na posição em as faces do cubo grande, concluímos que a menor soma possível dos 24 grande é 8 \times 7 = 56.

Mais detalhadamente, ao juntar os oito dados idênticos, formamos ur como na figura ao lado, e em cada face desse cubo maior aparecem qu Portanto, nas seis faces desse cubo maior aparecem 6 \times 4 = 24 núme lado, cada vértice do cubo maior corresponde a um dos oito vértice cada vértice do dado tem três de suas faces concorrendo nesse vérti 24 números que aparecem nas seis faces do cubo maior são provenie comuns dos dados, faces essas que ficaram visíveis após a montager que fica apoiada sobre a mesa. Logo, a menor soma possível para os aparecem nas faces do cubo formado é igual a oito vezes a menor soma as três faces comuns de um vértice de um dado.

Ao montar o dado a partir de sua planificação observamos que as faces

2 e 5, 1 e 3, 6 e 4

Observamos também que as faces comuns aos vértices do dado serão:

1, 2 e 4 (soma 7) [Figura: Ilustração de um dado em perspectiva isométrica com a face frontal marcando 1, a face superior marcando 2 e a face lateral direita marcando 4] ou 1, 2 e 6 (soma 9)
2, 3 e 4 (soma 9) [Figura: Ilustração de um dado em perspectiva isométrica com a face frontal marcando 2, a face superior marcando 3 e a face lateral direita marcando 4] ou 2, 3 e 6 (soma 11)
3, 4 e 5 (soma 12) [Figura: Ilustração de um dado em perspectiva isométrica com a face frontal marcando 3, a face superior marcando 5 e a face lateral direita marcando 4] ou 3, 5 e 6 (soma 14)
1, 4 e 5 (soma 10) [Figura: Ilustração de um dado em perspectiva isométrica com a face frontal marcando 5, a face superior marcando 1 e a face lateral direita marcando 4] ou 1, 5 e 6 (soma 12)

Assim, a menor soma possível para os números que aparecem nas face

8 \times 7 = 56.

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Resolução comentada

Num cubo 2\times2\times2 formado por 8 dados, cada dado ocupa um canto do cubo grande. Em cada dado aparecem 3 faces, que se encontram em um mesmo vértice. As outras 3 ficam escondidas. No total aparecem 24 faces, 3 de cada dado.

Para minimizar a soma, cada dado deve mostrar três faces que compartilham um vértice, com a menor soma possível.

Primeiro, descubra quais faces são opostas na planificação em cruz:

Na coluna 2, 1, 5, 3: o 2 e o 5 ficam separados por uma face (o 1), então são opostos. O 1 e o 3 também ficam separados por uma face (o 5), então são opostos.
O 6 está ao lado do 1, na mesma linha. O 4 está ao lado do 5, na mesma linha. Entre eles há a coluna central, e o 6 e o 4 são opostos.

Pares opostos: (2,5), (1,3), (6,4).

Três faces que se encontram em um vértice têm de ser de pares diferentes, uma de cada par. A menor soma escolhe o menor número de cada par: 2, 1 e 4.

2+1+4=7

Essas três faces são mesmo adjacentes, pois vêm de pares diferentes, então formam um vértice.

Como são 8 dados:

8\times 7=56

É possível orientar cada dado para que o vértice 1, 2, 4 fique voltado para fora, no canto do cubo grande.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor baixo demais; seria preciso mostrar 4 por dado, o que não é possível, pois três faces visíveis não podem ser 1, 1, 2 etc.
BCorresponde a 6 por dado, soma que não é alcançável com faces de pares opostos distintos (mínimo é 7).
DCorresponde a 8 por dado, soma maior que o mínimo 7.
ECorresponde a 9 por dado, maior que o mínimo.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗