Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2022

Question

25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90^\circ. Quantos tabuleiros 5 \times 5 formados por quadrados pretos ou brancos não se alteram quando girados de 90^\circ?

Tabuleiro quadriculado com cinco colunas e três linhas, formado por quadrados brancos e pretos

A
25
B
30
C
64
D
128
E
192

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90^\circ. Quantos tabuleiros 5 \times 5 formados por quadrados pretos ou brancos não se alteram quando girados de 90^\circ?

Tabuleiro quadriculado com cinco colunas e três linhas, formado por quadrados brancos e pretos

A
25
B
30
C
64
D
128
E
192

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: O mosaico da figura do enunciado pode ser obtido girando-se, em torno do ladrilho central, o bloco 2 \times 3 formado pelos primeiros três ladrilhos das duas primeiras linhas, mais o ladrilho central.

[Figura: Quatro malhas quadriculadas de dimensão 5 por 5 ilustrando o giro de 90° em torno do ladrilho central de um bloco de 2 por 3 ladrilhos com contorno destacado.]

Na verdade, qualquer mosaico de ladrilhos pretos e brancos que apresenta simetria rotacional de 90^\circ tem essa propriedade, ou seja, é obtido a partir de sete ladrilhos: seis do bloco 2 \times 3 formado pelos três primeiros ladrilhos das duas primeiras linhas e mais o ladrilho central.

Como cada ladrilho pode ser preto ou branco, temos 2^7 = 128 maneiras distintas de escolher sete ladrilhos para obter um mosaico 5 \times 5 que apresenta simetria rotacional de 90^\circ.

Logo, a quantidade de mosaicos 5 \times 5 que apresentam simetria rotacional de 90^\circ é igual a 2^7 = 128. Observe que, dentre essas possibilidades, aparecem o tabuleiro todo branco e o tabuleiro todo preto: eles também têm simetria rotacional de 90^\circ.

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Resolução comentada

Um tabuleiro 5\times5 não muda quando girado de 90^\circ se cada casa tem a mesma cor que as casas para onde ela vai nas rotações. Então as casas se dividem em grupos (órbitas) que giram entre si, e cada grupo precisa ter uma única cor.

Contando os grupos:

A casa central fica parada: é 1 grupo sozinho.
As outras 24 casas se agrupam de 4 em 4, pois cada uma passa por 4 posições ao girar 90^\circ (360° ÷ 90° = 4). Isso dá 24 \div 4 = 6 grupos.

Total: 1 + 6 = 7 grupos.

Cada grupo pode ser preto ou branco, independentemente dos outros. Logo, o número de tabuleiros é

2^7 = 128.

Como conferência, as casas de uma mesma coluna de borda não são todas do mesmo grupo: a 1ª linha tem 5 casas, e as 4 da borda externa em cada lado se distribuem em grupos diferentes, o que é coerente com os 6 grupos de 4 casas (4 casas de cantos, 8 do meio das bordas e 12 do anel interno... somando 24).

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem conta só os 6 grupos de 4 casas e esquece a casa central, que também tem duas cores possíveis.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ o número de casas do tabuleiro, não a contagem de tabuleiros simétricos.
BNão corresponde a nenhuma contagem correta de grupos; valor sem base na simetria.
CÉ 2^6: esquece de contar a casa central, que também pode ser preta ou branca.
EValor maior que 2^7; não vem de potência de 2 e ignora que cada grupo tem cor única.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗