Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2022

Resolução comentada

Cada aluno participa de no máximo 2 clubes. Para o total de alunos ser o menor possível, queremos que o maior número possível de alunos esteja em 2 clubes.

O total de vagas nos clubes é 3 \times 15 = 45.

Seja x o número de alunos em exatamente um clube e y o número de alunos em exatamente dois clubes. Então:

1. Vagas: x + 2y = 45.
2. Total de alunos: N = x + y.

Isolando, N = 45 - y. Logo, para minimizar N, precisamos maximizar y.

Se y é o número de alunos em dois clubes, sejam a, b, c os números de alunos que estão só nos pares (A,B), (A,C), (B,C). Então y = a+b+c.

O clube A tem a+b alunos em pares, no máximo 15, e o mesmo vale para os outros:

Somando: 2(a+b+c) \le 45, ou seja, y \le 22{,}5. Como y é inteiro, y \le 22.

Com y=22: N = 45-22 = 23. Isso é possível? Tome a=7, b=8, c=7: a+b=15, a+c=14, b+c=15, soma 22. O clube B tem 14 alunos em pares e mais 1 aluno só nele... conferindo: A tem 15, B tem a+c=14 mais 1 exclusivo = 15, C tem 15. Total: 22+1=23 alunos.

Portanto o mínimo é 23.

Alternativa A.

Pegadinha: A conta 45/2 = 22{,}5 tenta levar a 22,5 alunos em dois clubes; arredondar para 23 em vez de 22 daria 22 no total ou erro, e o total correto exige y=22, resultando em 23.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BSupõe que y máximo seria 21, não aproveitando que y=22 é possível com um aluno em apenas um clube.
• CValor maior que o mínimo; não maximiza os alunos em dois clubes.
• DValor maior que o mínimo; ignora a construção ótima.
• EValor maior que o mínimo; corresponde a uma distribuição pouco eficiente.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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