Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2019

Question

Na figura, os lados dos retângulos são horizontais ou verticais, e os retângulos de mesma cor são idênticos. Qual é o valor de h?

A
88\ \text{cm}
B
89\ \text{cm}
C
90\ \text{cm}
D
91\ \text{cm}
E
92\ \text{cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Sistemas lineares

Na figura, os lados dos retângulos são horizontais ou verticais, e os retângulos de mesma cor são idênticos. Qual é o valor de h?

A
88\ \text{cm}
B
89\ \text{cm}
C
90\ \text{cm}
D
91\ \text{cm}
E
92\ \text{cm}

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Solução oficial da OBMEP

Representando graficamente as três situações uma no topo da outra, como na figura ao lado, observamos que a soma das três medidas corresponde a 3 vezes a distância h (o bloco verde debaixo compensa com o bloco verde do topo).

[Figura: Três montagens verticais sobrepostas mostrando as alturas h e as medidas de 111 cm, 80 cm e 82 cm obtidas com as combinações dos blocos verde, azul e rosa.]

Logo, h = \frac{113+80+82}{3} = 91\text{ cm}.

OUTRA SOLUÇÃO:

Cada uma das distâncias nas três figuras pode ser expressa em termos de h e das alturas de dois dos blocos:

111 = h - \text{bloco verde} + \text{bloco azul}

80 = h - \text{bloco azul} + \text{bloco rosa}

82 = h - \text{bloco rosa} + \text{bloco verde}

Cada bloco aparece uma vez nessas igualdades com sinal positivo e outra com sinal negativo.

Portanto, ao somá-las, eles se cancelam. Temos, assim:

111 + 80 + 82 = 3h

Logo, 3h = 273 e, portanto, h = 91\text{ cm}.

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Resolução comentada

Chame de v, r e a as alturas dos retângulos verde, rosa e azul, respectivamente, em centímetros. Como os retângulos de mesma cor são idênticos e aparecem na mesma orientação, essas alturas se repetem nos três conjuntos.

Tome a linha tracejada inferior como referência de altura zero. Assim, a linha superior está na altura h. Observe os pontos em que cada seta começa e termina:

À esquerda, o topo do azul está na altura h+a, e o topo do verde inferior está na altura v. Portanto:

h+a-v=111.
No centro, o topo do rosa está na altura h+r, e o topo do azul inferior está na altura a. Logo:

h+r-a=80.
À direita, o topo do verde está na altura h+v, e o topo do rosa inferior está na altura r. Assim:

h+v-r=82.

Somando as três equações, as alturas dos retângulos se cancelam:

3h=111+80+82=273.

Portanto,

h=\frac{273}{3}=91\ \text{cm}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom h = 88 cm, a soma das três medidas seria 264 cm, não 273 cm.
BCom h = 89 cm, a soma das três medidas seria 267 cm, não 273 cm.
CCom h = 90 cm, a soma das três medidas seria 270 cm, não 273 cm.
ECom h = 92 cm, a soma das três medidas seria 276 cm, não 273 cm.

Assunto: Sistemas lineares.

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Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗