Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2019

Question

Uma mesa circular tem seis lugares com cadeiras de cores diferentes. De quantos modos três casais de namorados podem ocupar esses seis lugares de forma que os três rapazes fiquem juntos e as três moças também, mas nenhum rapaz fique junto de sua namorada?

A
36
B
54
C
72
D
108
E
144

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Permutações

Uma mesa circular tem seis lugares com cadeiras de cores diferentes. De quantos modos três casais de namorados podem ocupar esses seis lugares de forma que os três rapazes fiquem juntos e as três moças também, mas nenhum rapaz fique junto de sua namorada?

A
36
B
54
C
72
D
108
E
144

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os rapazes devem se sentar juntos ao redor da mesa; escolhemos primeiramente três posições vizinhas e a ordem dos rapazes nas posições escolhidas: isso pode ser feito de 6 \times 6 = 36 modos diferentes. Fixemos uma dessas escolhas. Para raciocinar, digamos que foi escolhida a seguinte acomodação para os rapazes (observe que não há perda de generalidade aqui):

[Figura: Esquema de uma mesa circular com seis cadeiras numeradas de 1 a 6 em sentido horário. As cadeiras 1, 2 e 3 estão ocupadas por "Rapaz 1", "Rapaz 2" e "Rapaz 3", respectivamente, enquanto as cadeiras 4, 5 e 6 estão vazias.]

Vamos pensar na acomodação das moças. Na cadeira de número 6 não deve se sentar a namorada do rapaz 1 e, assim, há dois casos a considerar:

Na cadeira 6 senta-se a moça que namora o rapaz 2. Nesse caso, como na cadeira 4 não deve se sentar a moça que namora o rapaz 3, há somente uma possibilidade de acomodação das moças. Fazendo variar a posição dos rapazes, há, portanto, um total de 1 \times 36 = 36 possibilidades.
Na cadeira 6 senta-se a moça que namora o rapaz 3. As cadeiras 4 e 5 podem ser usadas pelas namoradas dos rapazes 1 e 2 (duas possibilidades). Fazendo variar a posição dos rapazes, há, portanto, um total de 2 \times 36 = 72 possibilidades.

Somando os dois casos acima, concluímos que há 36 + 72 = 108 possibilidades de ocupar as cadeiras, de acordo com as exigências do enunciado.

OUTRA SOLUÇÃO:

Pensando primeiramente no trio de homens, chamaremos o que fica entre os outros dois de “homem central” e os outros dois de “homem da direita” e “homem da esquerda”.

Em qual cadeira ficará o homem central? 6 possibilidades.
Qual será o homem central? 3 possibilidades.
Qual será o homem da direita? 2 possibilidades.
Qual será o homem da esquerda? 1 possibilidade.

Após posicionados os homens, vamos chamá-los de A, B e C, e as respectivas namoradas de A’, B’ e C’.

[Figura: Diagrama de uma mesa circular com seis posições marcadas por círculos preenchidos ao seu redor: no topo e à direita, três pontos pretos identificados como A, B e C; no fundo e à esquerda, três pontos azuis identificados como D, E e F.]

Basta decidir agora em qual cadeira B’ (namorada do homem central) se sentará, pois, após ela se sentar, as posições das outras namoradas ficarão amarradas.
Qual será a posição de B’? 3 possibilidades.
Qual será a posição de A’? 1 possibilidade.
Qual será a posição de C’? 1 possibilidade.

Assim, o número de maneiras de arrumar os 3 casais nas condições estabelecidas é:

N = 6 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 1 \times 1 = 108.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

As cadeiras têm cores diferentes, então elas são distinguíveis: não dividimos por rotações. Há 6 lugares fixos em círculo.

Três rapazes juntos e três moças juntas: os rapazes ocupam 3 cadeiras consecutivas e as moças, as outras 3. O bloco dos rapazes pode começar em qualquer uma das 6 cadeiras, e isso dá 6 escolhas (cada uma já determina o bloco das moças).
Fixado o bloco, chamamos os rapazes de A, B, C e as moças de a, b, c. Os rapazes ocupam as posições 1, 2, 3 e as moças as posições 4, 5, 6, em círculo. Os pares de posições vizinhas entre blocos são 3–4 e 6–1, e esses pares são os únicos em que um rapaz fica ao lado de uma moça.
A condição "nenhum rapaz fica junto de sua namorada" refere-se a essas adjacências: o rapaz da posição 3 não pode ter a namorada na posição 4, e o da posição 1 não pode ter a namorada na posição 6.
Contagem: os rapazes podem ser arrumados de 3! = 6 modos. Para cada um, as moças podem ser arrumadas de 3! = 6 modos, ou seja, 36 no total. Subtraímos os casos proibidos por inclusão-exclusão:

Namorada do rapaz 3 na posição 4: 2! = 2 arrumações das demais, ou seja, 2 casos por rapaz.
Namorada do rapaz 1 na posição 6: 2 casos.
Ambos ao mesmo tempo: 1 caso (a terceira moça fica na posição 5).

Proibidos: 2 + 2 - 1 = 3. Permitidos: 6 - 3 = 3.

Total: 6 \cdot 6 \cdot 3 = 108 (6 posições do bloco, 6 arrumações dos rapazes, 3 das moças).

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece a escolha da posição do bloco ou considera apenas uma parte das arrumações.
BDivide indevidamente a contagem, como se as rotações fossem iguais, mesmo com cadeiras distintas.
CUsa 2 arrumações permitidas das moças em vez de 3, errando a inclusão-exclusão.
ENão exclui a condição dos namorados em lados vizinhos, contando parte dos casos proibidos.

Assunto: Permutações.

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Questão 16 no caderno Nível 2 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗