Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2019

Question

Na figura, os lados dos retângulos são horizontais ou verticais, e os retângulos de mesma cor são idênticos. Qual é o valor de h?

A
88 cm
B
89 cm
C
90 cm
D
91 cm
E
92 cm

Answer 1

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Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Na figura, os lados dos retângulos são horizontais ou verticais, e os retângulos de mesma cor são idênticos. Qual é o valor de h?

A
88 cm
B
89 cm
C
90 cm
D
91 cm
E
92 cm

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Solução oficial da OBMEP

Representando graficamente as três situações uma no topo da outra, como na figura ao lado, observamos que a soma das três medidas corresponde a 3 vezes a distância h (o bloco verde debaixo compensa com o bloco verde do topo).

[Figura: Três situações empilhadas verticalmente mostrando blocos coloridos (verde, rosa e azul) com as alturas parciais de 111\text{ cm}, 80\text{ cm} e 82\text{ cm}, e as alturas totais h.]

Logo, h = \frac{113+80+82}{3} = 91\text{ cm}.

OUTRA SOLUÇÃO:

Cada uma das distâncias nas três figuras pode ser expressa em termos de h e das alturas de dois dos blocos:
111 = h - \text{bloco verde} + \text{bloco azul}
80 = h - \text{bloco azul} + \text{bloco rosa}
82 = h - \text{bloco rosa} + \text{bloco verde}

Cada bloco aparece uma vez nessas igualdades com sinal positivo e outra com sinal negativo.

Portanto, ao somá-las, eles se cancelam. Temos, assim:
111 + 80 + 82 = 3h

Logo, 3h = 273 e, portanto, h = 91\text{ cm}.

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Resolução comentada

Chame de b, p e g as alturas dos retângulos azul, rosa e verde. Cada seta vai do topo do retângulo que está no chão até o topo do retângulo que está apoiado na linha tracejada, a altura h.

Escrevendo cada seta como diferença de alturas:

Primeira seta: o azul está sobre a linha e o rosa no chão, então h + b - p = 111.
Segunda seta: o rosa está sobre a linha e o verde no chão, então h + p - g = 80.
Terceira seta: o verde está sobre a linha e o azul no chão, então h + g - b = 82.

Somando as três equações, b, p e g se cancelam:

3h + (b - p) + (p - g) + (g - b) = 111 + 80 + 82

3h = 273 \Rightarrow h = 91\ \text{cm}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a soma das três equações, que dá 3h=273.
BNão decorre de 3h=273; provavelmente erro de conta na soma ou na divisão.
CSeria a média aproximada de 80 e 111 etc., sem usar o cancelamento das alturas.
ENão satisfaz 3h=273; exigiria soma total de 276.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗