Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2019

Question

Joãozinho montou uma tabela com todos os valores de a, b e c no conjunto \{0,1,2,\dots,9\} tais que a^2 + 2bc = c^2 + 2ab. Observe algumas linhas da tabela:

a \downarrow	b \downarrow	c \downarrow	a^2 + 2bc = c^2 + 2ab \downarrow
0	0	0	0^2 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 0^2 + 2 \cdot 0 \cdot 0
7	6	5	7^2 + 2 \cdot 6 \cdot 5 = 5^2 + 2 \cdot 7 \cdot 6
5	6	7	5^2 + 2 \cdot 6 \cdot 7 = 7^2 + 2 \cdot 5 \cdot 6
4	9	4	4^2 + 2 \cdot 9 \cdot 4 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 9
\vdots	\vdots	\vdots	\vdots

Quantas linhas tem a tabela completa do Joãozinho?

A
50
B
100
C
120
D
130
E
140

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração

Joãozinho montou uma tabela com todos os valores de a, b e c no conjunto \{0,1,2,\dots,9\} tais que a^2 + 2bc = c^2 + 2ab. Observe algumas linhas da tabela:

a \downarrow	b \downarrow	c \downarrow	a^2 + 2bc = c^2 + 2ab \downarrow
0	0	0	0^2 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 0^2 + 2 \cdot 0 \cdot 0
7	6	5	7^2 + 2 \cdot 6 \cdot 5 = 5^2 + 2 \cdot 7 \cdot 6
5	6	7	5^2 + 2 \cdot 6 \cdot 7 = 7^2 + 2 \cdot 5 \cdot 6
4	9	4	4^2 + 2 \cdot 9 \cdot 4 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 9
\vdots	\vdots	\vdots	\vdots

Quantas linhas tem a tabela completa do Joãozinho?

A
50
B
100
C
120
D
130
E
140

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Reescrevendo a equação de forma conveniente, temos:

a^2 + 2bc = c^2 + 2ab \Leftrightarrow a^2 - c^2 = 2ab - 2bc \Leftrightarrow (a + c)(a - c) = 2b(a - c)

Se a = c então a equação é sempre verdadeira, independente do valor de b, já que ela se reduz a 0 = 0. Nesse caso, como a, b e c estão restritos ao conjunto \{0,1,2,...,9\}, temos 10 possibilidades para a = c e 10 possibilidades para b, totalizando 10 \times 10 = 100 soluções diferentes.

Se a \neq c então podemos cancelar o fator (a - c) em ambos os lados da equação, e ela será verdadeira quando a + c = 2b. Nesse caso, devemos contar os casos em que a + c é um número par maior do que 0 e menor do que 18 (os casos a + c = 0 e a + c = 18 já foram contados anteriormente, pois eles ocorrem quando a = c = 0 e a = c = 9). Devido à simetria a + c = c + a, essa contagem pode ser feita considerando apenas os casos em que a + c é par com a > c e, depois, multiplicando o resultado por 2. Listando esses casos a partir do valor de a, temos:

a = 0 : nenhum caso
a = 1 : nenhum caso
a = 2 : somente 1 caso \rightarrow c = 0
a = 3 : somente 1 caso \rightarrow c = 1
a = 4 : somente 2 casos \rightarrow c = 0 e c = 2
a = 5 : somente 2 casos \rightarrow c = 1 e c = 3
a = 6 : somente 3 casos \rightarrow c = 0, c = 2 e c = 4
a = 7 : somente 3 casos \rightarrow c = 1, c = 3 e c = 5
a = 8 : somente 4 casos \rightarrow c = 0, c = 2, c = 4 e c = 6
a = 9 : somente 4 casos \rightarrow c = 1, c = 3, c = 5 e c = 7

Logo, somando todos os casos acima, temos 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 20 soluções, e multiplicando por 2 devido à simetria temos um total de 40 soluções. Totalizando, temos 100 + 40 = 140 soluções diferentes de a^2 + 2bc = c^2 + 2ab em que a, b e c pertencem ao conjunto \{0,1,2,...,9\}. Logo, a tabela de Joãozinho tem 140 linhas.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Passe tudo para um lado e fatore:

a^2 - c^2 + 2bc - 2ab = 0

(a-c)(a+c) - 2b(a-c) = 0

(a-c)(a+c-2b)=0

Logo, a equação vale quando a=c ou quando a+c=2b (ou seja, b é a média de a e c). Vamos contar cada caso e depois descontar a interseção.

Caso a=c: a e b são livres, então 10\cdot 10 = 100 trios.
Caso a+c=2b: a e c devem ter a mesma paridade, e então b fica determinado (e fica entre 0 e 9). Pares com mesma paridade: 5\cdot5 + 5\cdot5 = 50 trios.
Interseção: a=c e a+c=2b dão b=a=c, ou seja, 10 trios.

Total: 100 + 50 - 10 = 140.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D (130) engana quem desconta a interseção errada; já a soma direta 150 não aparece, e quem esquece a interseção erraria por 10.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconta apenas os trios com a+c=2b, esquecendo o caso a=c.
Bconta apenas o caso a=c, esquecendo a+c=2b.
Cnão corresponde a nenhuma contagem correta; erro ao combinar os casos.
Ddesconta a interseção de forma errada (por exemplo, subtrai 20 em vez de 10).

Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Princípio fundamental da contagem.

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Questão 18 no caderno Nível 2 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗