Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2019

Question

Na figura, os lados dos retângulos são horizontais ou verticais, e os retângulos de mesma cor são idênticos. Qual é o valor de h?

$Três arranjos de retângulos coloridos (azul, rosa e verde). Uma linha tracejada horizontal na altura $h$ serve de referência para as posições superiores dos retângulos. A primeira medida vertical, de $111\text{ cm}$, vai do topo do retângulo rosa inferior ao topo do retângulo azul superior (que apoia sobre a linha tracejada). A segunda medida, de $80\text{ cm}$, vai do topo de um retângulo azul sob o verde inferior até o topo do retângulo rosa superior. A terceira medida, de $82\text{ cm}$, vai do topo do retângulo azul inferior até o topo do retângulo verde superior.$

A
88 cm
B
89 cm
C
90 cm
D
91 cm
E
92 cm

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2019

Nível 1 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Na figura, os lados dos retângulos são horizontais ou verticais, e os retângulos de mesma cor são idênticos. Qual é o valor de h?

$Três arranjos de retângulos coloridos (azul, rosa e verde). Uma linha tracejada horizontal na altura $h$ serve de referência para as posições superiores dos retângulos. A primeira medida vertical, de $111\text{ cm}$, vai do topo do retângulo rosa inferior ao topo do retângulo azul superior (que apoia sobre a linha tracejada). A segunda medida, de $80\text{ cm}$, vai do topo de um retângulo azul sob o verde inferior até o topo do retângulo rosa superior. A terceira medida, de $82\text{ cm}$, vai do topo do retângulo azul inferior até o topo do retângulo verde superior.$

A
88 cm
B
89 cm
C
90 cm
D
91 cm
E
92 cm

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Representando graficamente as três situações uma no topo da outra, como na figura ao lado, observamos que a soma das três medidas corresponde a 3 vezes a distância h (o bloco verde debaixo compensa com o bloco verde do topo).

[Figura: Esquema vertical mostrando os blocos retangulares coloridos (verde, rosa e azul) sobrepostos em três níveis com linhas tracejadas de referência, indicando as medidas de 111 cm, 80 cm e 82 cm entre bases e topos dos blocos, e a altura h indicada três vezes ao lado.]

Logo, h = \frac{113+80+82}{3} = 91\text{ cm}.

OUTRA SOLUÇÃO:

Cada uma das distâncias nas três figuras pode ser expressa em termos de h e das alturas de dois dos blocos:
111 = h - \text{bloco verde} + \text{bloco azul}
80 = h - \text{bloco azul} + \text{bloco rosa}
82 = h - \text{bloco rosa} + \text{bloco verde}

Cada bloco aparece uma vez nessas igualdades com sinal positivo e outra com sinal negativo.

Portanto, ao somá-las, eles se cancelam. Temos, assim:

111 + 80 + 82 = 3h

Logo, 3h = 273 e, portanto, h = 91\text{ cm}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Chame de b, p e g as alturas dos retângulos azul, rosa e verde. A ideia é escrever cada medida como uma diferença de alturas em relação ao chão e somar as equações para cancelar b, p e g. Não consegui verificar com certeza como o desenho posiciona a seta de 80\ \text{cm}, então a segunda equação abaixo é a leitura que faz as incógnitas se cancelarem.

Na primeira medida, o azul parte da linha tracejada, de modo que seu topo está a h+b. O rosa está no chão, com topo em p. Logo h+b-p=111.
Na segunda medida, o rosa parte da linha tracejada, com topo em h+p. A base da seta fica a uma altura g. Logo h+p-g=80.
Na terceira medida, o verde parte da linha tracejada, com topo em h+g. O azul está no chão, com topo em b. Logo h+g-b=82.

Somando as três equações, b, p e g se cancelam:

(h+b-p)+(h+p-g)+(h+g-b)=111+80+82

3h=273 \Rightarrow h=91\ \text{cm}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base na soma das três medidas; não resulta de 3h=273.
BErro de conta ao dividir ou somar as medidas; 3h=273 não dá 89.
CValor arredondado sem relação com 273\div 3.
EPassa de 91; não corresponde a 273\div 3.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 19 no caderno Nível 1 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 1. Prova oficial ↗