Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Os carros são diferentes (preto e rosa), então a ordem importa: trocar de lugar os dois carros gera uma situação nova.

Vamos contar o total e tirar os casos em que os carros ficam em vagas vizinhas.

1. Total de maneiras de colocar os dois carros em vagas diferentes: o preto tem 10 opções e o rosa, 9. Logo, 10\cdot 9 = 90.

2. Casos proibidos, com os carros em vagas vizinhas: os pares de vagas vizinhas são (1,2), (2,3), ..., (9,10), ou seja, 9 pares.

3. Em cada par, o preto pode ficar em qualquer uma das duas vagas e o rosa na outra. Isso dá 9\cdot 2 = 18 casos.

4. Casos permitidos: 90 - 18 = 72.

Conferindo pela contagem direta: se o preto está na vaga 1 ou na 10, o rosa tem 10-3=7 opções, pois fica proibida a própria vaga e a vizinha. Isso dá 2\cdot 7=14. Se o preto está numa das 8 vagas do meio, o rosa tem 10-3=7... não, tem 10-1-2=7 opções, mas é preciso cuidar: nas extremidades só há 1 vizinha, então o rosa tem 10-1-1=8 opções. Refazendo: preto nas extremidades (2 vagas) → 8 opções cada, 16; preto nas 8 vagas do meio → 7 opções cada, 56. Total 16+56=72.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConsidera só o caso das 8 vagas do meio (8·7), esquecendo as extremidades.
• BCalcula 10·7, usando 7 opções para o rosa em todas as vagas do preto.
• CNão corresponde a nenhuma contagem correta; valor sem justificativa.
• ESubtrai apenas 10 casos do total de 90, errando a contagem das posições vizinhas.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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