Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Como os carros têm cores diferentes, a ordem importa: preto na vaga 3 e rosa na 5 é diferente de preto na 5 e rosa na 3.

A ideia é contar todas as formas de ocupar duas vagas e tirar as que não servem, isto é, as que deixam os carros em vagas vizinhas.

1. Total de formas de colocar os dois carros em vagas distintas: o preto tem 10 opções e o rosa, 9 restantes. Logo, 10 \times 9 = 90.

2. Formas com os carros em vagas vizinhas (sem vaga livre entre eles): os pares de vagas vizinhas são (1,2), (2,3), ..., (9,10), ou seja, 9 pares. Em cada par, o preto pode estar em qualquer uma das duas vagas, então 9 \times 2 = 18.

3. Formas com pelo menos uma vaga livre entre eles:

Conferindo: para o preto na vaga 1, o rosa pode ir nas vagas 3 a 10 (8 opções). Nas vagas 2 a 9 seria 7 opções nas extremidades... em resumo, o método do complemento já resolve e dá 72.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa 56, valor que não corresponde a nenhuma contagem correta; não considera a ordem de forma adequada.
• BChega a 70 por erro de contagem dos pares de vagas vizinhas, subtraindo 20 de 90.
• CSubtrai 19 dos 90, contagem errada das posições vizinhas.
• ESubtrai apenas 10 de 90, contando poucos casos de vagas vizinhas.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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