Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Cada produto custa um número inteiro de reais mais R$ 0,99, ou seja, custa \(\text{inteiro} + 0{,}99\). Com n produtos, os centavos somam n \times 0{,}99 = n - 0{,}01n. Então o total é um número inteiro de reais menos n centavos, mais n reais... Vamos organizar pelos centavos.

Total pago: R$ 41,71, ou seja, 4171 centavos. Cada preço, em centavos, termina em 99, então é da forma 100k + 99 = 100(k+1) - 1. Somando n produtos, o total é um múltiplo de 100 menos n:

Logo n = 100m - 4171, ou seja, n deixa resto 29 quando dividido por 100 (pois 100m - 4171 \equiv -71 \equiv 29).

As alternativas com final 29 são só a (B) 29.

Conferindo: com n=29, 100m = 4171 + 29 = 4200, então m = 42. Isso significa que, se cada produto custasse R$ 1,00 a mais que o preço em reais, 29 produtos somariam R$ 42,00 e tirando 29 centavos dá R$ 41,71. Também é possível, pois o menor total com 29 produtos é $29 \times 0{,}99 = $ R$ 28,71, menor que R$ 41,71.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A31 produtos dariam total terminando em 69 centavos (100m − 31), não em 71.
• C21 produtos dariam total terminando em 79 centavos.
• D19 produtos dariam total terminando em 81 centavos.
• E9 produtos dariam total terminando em 91 centavos.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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