Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Os carros têm cores diferentes, então a ordem importa: preto na vaga 3 e rosa na vaga 5 é diferente de rosa na 3 e preto na 5.

O jeito mais simples é contar todas as possibilidades e tirar as que não servem, isto é, aquelas em que os carros ficam em vagas vizinhas (sem nenhuma vaga livre entre eles).

1. Total de maneiras de colocar os dois carros em 10 vagas: o preto tem 10 escolhas e o rosa tem 9, então 10\cdot 9 = 90.

2. Maneiras com os carros em vagas vizinhas: há 9 pares de vagas vizinhas (1-2, 2-3, ..., 9-10). Em cada par, os carros podem trocar de lugar, então 9\cdot 2 = 18.

3. Maneiras com pelo menos uma vaga livre entre eles:

Conferindo por outro caminho: escolhendo 2 vagas não vizinhas, há \binom{10}{2} - 9 = 45 - 9 = 36 pares de vagas. Como os carros são distintos, cada par permite 2 arrumações, e 36\cdot 2 = 72.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa que engana é a que ignora que os carros são distintos: contar só 36 pares e esquecer de multiplicar por 2 leva a um valor menor.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AParece vir de contar outra configuração errada de vagas, sem fundamento na contagem correta.
• BConsidera só 36 pares de vagas e erra a contagem do segundo passo; não bate com nenhuma contagem correta.
• CSubtrai apenas 19 casos ou arredonda mal, sem base na contagem correta.
• ESubtrai apenas 10 do total de 90, errando o número de pares de vagas vizinhas.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.