Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Sejam os números a = d\cdot x e b = d\cdot y, com d = \text{mdc}(a,b) e x, y naturais. Então a\cdot b = d^2\cdot xy = 6\,000.

Logo d^2 precisa dividir 6\,000.

1. Fatorando: 6\,000 = 6\cdot 10^3 = 2^4\cdot 3\cdot 5^3.
2. Para d^2 dividir 6\,000, cada expoente de d^2 deve ser par e no máximo o expoente correspondente: 2^4, 3^0 e 5^2.
3. Assim, d^2 máximo = 2^4\cdot 5^2 = 400, e d = 2^2\cdot 5 = 20.

Verificando se é possível: com d=20, xy = 6\,000/400 = 15. Tomando x=3 e y=5 (primos entre si), temos a=60 e b=100, produto 6\,000 e \text{mdc}(60,100)=20. Funciona.

Os valores 30, 40 e 60 não servem: 30^2=900, 40^2=1\,600 e 60^2=3\,600 não dividem 6\,000 (por exemplo, 900 exigiria 3^2, mas 6\,000 só tem um fator 3; 1\,600=2^6\cdot5^2 exige 2^6, mas só há 2^4).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A10 é possível, mas não é o maior; d=20 também satisfaz.
• C30^2=900 não divide 6 000, pois exigiria 3^2 e só há um fator 3.
• D40^2=1\,600 exige 2^6, e 6 000 só tem 2^4.
• E60^2=3\,600 não divide 6 000 (exigiria 3^2 e 2^4\cdot5^2 ao mesmo tempo com só um 3).

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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